第56回 「連一数」の数理と中学入試  ~数学オリンピックからの贈り物~

 一回読むだけでたちまち夢のように算数ができるようになる、……というものが書けないかなあと思いながら書いていこうと思います。国内の大学入試やその他の試験、近隣諸国の小学生の問題、文科省の動向など、受験算数の根っこの部分とか背景とか流行といったものがしっかりわかるようにすることを漠然と目標にして、思いつくまま書いています。
  算数は、何もかも人から学ぶということでは面白くないですし、しっかり身に付かないと思います。かといって、全く自分ひとりだけで考えようとすると、途方もなく時間がかかりますから、兼ね合いで学ぶのがよいでしょう。
  本稿をざっと読んで、これを参考に自分でもちょっと考えてみると、確実に力がついてくると思います。

算数エッセイ 『新編算数学入門』 
第56回 「連一数」の数理と中学入試 ~数学オリンピックからの贈り物~



【目次】
1. 大学入試と受験算数1 「連一数」1 連一数 
2. 大学入試と受験算数1 「連一数」2 累乗
3. 大学入試と受験算数1 「連一数」3 31数、9連1数 
4. 大学入試と受験算数1 「連一数」4 2008年東京大学入試問題 
5. 算数自由研究1 必要十分、用語の覚え方
6. 大学入試と受験算数1 「連一数」5 付記 累と塁について 
7. 算数自由研究2 「連一数」と「欠八数」の関係1 清一色
8. 算数自由研究3 「連一数」と「欠八数」の関係2 三位一体
9. 算数自由研究4 「連一数」と「欠八数」の関係3 走馬灯
10. 算数自由研究5 「連一数」と「欠八数」の関係4 だいたい逆順
11. 算数自由研究6 「連一数」と「欠八数」の関係5 連一数の平方
12. 中学入試問題研究1 「連一数」筑駒高校入試の場合 (2005年 筑波大駒場高校4番)
13. 中学入試問題研究2 「連一数」光塩女子学院中の場合 (2010年 光塩女子学院中4番)
14. 中学入試問題研究3 27と37の倍数について (2005年 大阪星光学院中1番(2))
15. 算数自由研究7 倍数の見分けの発展
16. 中学入試問題研究4 連分数の問題 (2010年 那須高原海城中7番)
17. 算数自由研究8 連分数2 分数パタパタ 中国小学数学奥賽から
18. 中学入試問題研究5 平面植木算1 (2010年 神奈川学園中5番)
19. 中学入試問題研究6 平面植木算2 (2006年 大阪星光学院中1番(4))
20. 中学入試問題研究7 天秤の釣り合い (2011年 立教女学院中4番)
21. 中学入試問題研究8 分数の等比数列 (2010年 東京純心女子中6番)
22. 中学入試問題研究9 ラングレーの問題 (2010年 共立女子第二中4番)
23. 中学入試問題研究10 2倍して5を引くと11の倍数 (2011年 大阪星光学院中1番(2))
24. 中学入試問題研究11 7をたし11もたし77の倍数を作る (2009年 大阪星光学院中1番(2))
25. 中学入試問題研究12 外サイクロイド仮面をつけた整数 (2010年 桐朋中7番)
26. 大学入試問題研究 さいころを3回投げたときの確率 (2011年 会津大学3番)
【注意】 「大学入試と受験算数1」というのがたくさんありますが、次回 「大学入試と受験算数2」を書く予定のためです。

1. 大学入試と受験算数1 「連一数」1 連一数 
連一数
 めぐみは月曜軒K校に通う小学五年生の女の子です。たくじは、早稲田実業中学2年生の男の子で、めぐみとはいとこどうしです。

 めぐみとたくじは会うと、よく勉強ごっこをして遊びます。
 それというのもたくじは小さいころから勉強ができると評判の子でしたので、めぐみはたくじに対して尊敬の念のようなものを抱いていたのです。
「じゃあ、めぐちゃん、やろか」
「うん」
 この日もそんな風に勉強ごっこが始まりました。
「111111のように1ばかり並んでいる数をなんて呼べばいいと思う?」
「連一数?」
「それはいい、じゃあ連一数って呼ぶことにしよう」
「本当は何というの?」
「別に名前はないんじゃないかな。実は僕も、連一数がいいと思っていたんだが、めぐちゃんが考えた名前に合わせてもいいと思っていたんだ」
「ふうん」
「ところでさ、この連一数はどういう式できめられる?」
「え?」
 めぐみは何を聞かれているのかよくわからなかったので質問しました。
「つまり、111111が答えになる式を言えばいいの?」
「そう、その通り」
111111が答えになる式って、
111112-1=111111、
111000+111=111111、
……、
 めぐみはこんなの考えて、何になるのだろうと思いました。色々ありすぎて、あまり意味ないのではないかと思われました。そして、もし二進数ならば、
1000000(2)-1(2)=111111(2)
になるけど、……と思いました。
 だけど、十進数だと、
1000000-1=999999
になってしまうわと思いました。
 そう思った瞬間、めぐみはちょっとすごいことに気がつき自分でも驚きました。
「わかった。(1000000-1)÷9=111111」
と言いました。
 たくじは、
「そう、すごい。よく気がついたね。一般に、
(十の累乗-1)÷9=(連一数)
なんだ」
と言いました。
「一般にってなあに」
「一般っていうのは、まとめて言えば、ということだね、数学ではよく使うことばなんだ。反対のことばは特殊ということで、個々の場合をいうんだ」
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2. 大学入試と受験算数1 「連一数」2 累乗 
累乗
「あと、ルってなあに?」
「ル?」
「だって、ル以上って」
「ハハハ、いやごめん。ル以上ではなく累乗、累乗っていうのはこう書くんだよ。」
といって、たくじは「累乗」と書いて見せました。
「野球の1塁2塁に似ている字ね。」
「そう、累乗の累は田に糸、1塁2塁の塁は田に土だよね。このときの田はもともとは、木の森のように田を三つ重ねた字、畾(訓読み とりで、音読み ルイ、ライ)で、繰り返す意味の重ねるを意味する文字で、累は畾(ルイ)に糸でこのときの部首は糸、塁は畾に土でこのときの部首は土です。漢字では、部首でない方の文字が音(オン 読み)を作るので、累乗の累も1塁2塁の塁も両方とも畾のルイという音になるのです。
 で、ともかく、累乗の「累」は繰り返すという意味の重ねるという字です。一方、累乗の「乗」はかけ算のことを乗法と言ったり、たしひきかけわりの四則を加減乗除(かげんじょうじょ)という場合もあるように「乗」は「かける」ということ。で、結局累乗というのは繰り返しかけるということ。」
「わかったわ。
(10-1)÷9=1
(100-1)÷9=11
(1000-1)÷9=111
(10000-1)÷9=1111
(100000-1)÷9=11111
(1000000-1)÷9=111111
……
をまとめて言うと、
(十の累乗-1)÷9=(連一数)
ということね。」
「そう、その通りだよ。めぐちゃん。よくわかってるね。」
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3. 大学入試と受験算数1 「連一数」3 31数、9連1数 
31数
 たくじの講義がどんどん進みます。
「また、111とか10101とか1001001のように、1だけが3つあるとか、1が3つのほかは0しか並ばない数を3つの1の数という意味で『三一数』と呼ぶことにしましょう。『三一数』は9で割ると余りはいくつになると思う?」
「1+1+1=3だから『三一数』はすべて9で割ると3余る整数だわ。」
「そう、3という因数を1個だけ持っていると言える。言い換えると、3で割ると割り切れて9では割り切れない数だ」

9連1数
 次に1が9つだけ並んだ数111 111 111 を考えます。『九連一数』と呼びましょう。
これを111で割ると、


111 111 111÷111=1 001 001
となります。つまり、
111 111 111=111×1 001 001=『三一数』×『三一数』
です。したがって、111 111 111は3の因数を2個だけ持っている数です。言い換えると9で割り切れて27で割りきれません。
 次に1が27個だけ並んだ数111 111 111 111 111 111 111 111 111を考えます。「27連一数」とでも呼びましょう。

 これを111 111 111で割ると、
111 111 111 111 111 111 111 111 111÷111 111 111
=1 000 000 001 000 000 001

となります。つまり、
111 111 111 111 111 111 111 111 111
=111 111 111×1 000 000 001 000 000 001
=111×1001001×1 000 000 001 000 000 001
=「三一数」×「三一数」×「三一数」
です。したがって、「27連一数」
111 111 111 111 111 111 111 111 111


は3の因数を3個だけ持っている数です。言い換えるとこの数は27で割り切れて81で割りきれません。
 以下同様にして、一般に1が3n個だけ並んでいる整数は、3の因数をn個だけ持っている数です。言い換えると3nで割り切れて3n+1で割りきれません。
「1が3(m+1)個並んだ数」を「1が3m個並んだ数」で割ると商は「三一数(1が3個、あとは0だけが並んでいる数)」になることを確認してから、2008年の東京大学の数学の入試問題に及びました。
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4. 大学入試と受験算数1 「連一数」4 2008年東京大学入試問題 
2008年東大入試

 では、以上を踏まえてここらで2008年東京大学前期理系数学第5問の問題をご紹介しましょう。下がそれです。
問題
  自然数nに対し,
 n 
で表す。たとえば  1  =1,  2  =11, 3  =111である。
(1) mを0以上の整数とする。  3m  は3mで割り切れるが,3m+1では割り切れないことを示せ。
(2) nが27で割り切れることが, n  が27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。
(2008年 東京大学前期理系数学第5問)

解説
10nは、10をn個かけ算した数で1のあとに0がn個並ぶ、
100000…0
のような数です。
10n-1は、10をn個かけ算した数から1を引いた数で、9がn個並ぶ
999999…9
のような数です。
は10n-1を9で割った数で、1がn個並ぶ
111111…1
のような数です。これを  n で表すというのです。
■解法■
(1) m=0のとき、 30  1  =1なので、これは、1で割り切れるが3で割り切れない。成立する。
m=1のとき、  31  3  =111(=3×37)なので、9で割って3余る。つまり、3で割り切れるが9で割り切れない。よって成立する。
m=kのとき成立する(つまり 3k  が3kで割り切れる)と仮定すると、
m=k+1のとき、 3k+1  3k  ×「1が3個と0が並んでいる数」
とできるので、  3k+1  が3k+1で割り切れる。よって示された。

(2) 1がn個並んでいる整数 1111…1 で、
nが27のとき、
 27 
=11111111111111111111
=111111111×1000000001000000001
=111×1001001×1000000001000000001
なので、3×3×3=27 の倍数になる。
nが27×2=54のとき、
 54  =1111111111111111111111111111111111111111
 27  ×1000000000000000000000000001
なので、27 の倍数になる。
以下同様に、nが27の倍数であれば、 n  27  の倍数であるから27の倍数である。【必要性】
一方、   が27の倍数であるとき、9の倍数でもあるので、
   27  で割ると、あまりがあるとすれば、 18  9  か0に限る。しかるに、
 18  27  ×1000000001であり、27の倍数にならないので不適。
 9  =111111111=111×1001001であり、27の倍数にならないので不適。
よって、あまりは0に限る。
 27  27  で割ると割り切れる。【十分性】
よって、nが27で割り切れることが、    が27で割り切れるための必要十分である。
Q.E.D.
【注意】 東京大学では解法を公表していません。この解法は、筆者が中学受験生(小学生)に説明をするとしたらこうするということを示したものです。大学受験生が同学入試に、このままの表現を使うことをお勧めするものではありません。たとえば、(1)では、m=0についていえば、m=1については省いてもよいのですが、小学生にはちょっと特殊な感じなので、理解しやすいように、m=1についても言及しました。
 めぐみは東京大学の数学の入試問題の意味がはっきりわかり、それを通じて、連一数についての見通しがとてもよくなり、うれしくなりました。
 こうした「連一数」の問題は、そもそもは数学オリンピックで始まり、2005年筑波大付属駒場高校の数学の入学試験に出て、2008年東京大学前期理系数学第5問に出て、2010年に光塩女子学院中等科に軽い一行題に出て、2011年麻布中の1番の大型問題で出たのでした。
 大学入試の出題者は「教科書の問題や過去問の解法書式の丸暗記では解けない、自分で考えてそれを表現できるような問題を出そう」とし、中学入試の出題者は「将来の大学入試につながるような算数の面白さ、奥深さを伝えたい」と思っていると考えると符合するでしょう。
 この節のタイトルを「大学入試と受験算数1」としたのは、次回に「大学入試と受験算数2」と題したものを書く予定だからです。また、次回は今年の大学入試を踏まえ、数年後に中学入試に出る問題について考えてみたいと思います。
 なお、ストーリーはフィクションで特定のモデルなどはいません。
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5. 算数自由研究1 必要十分、用語の覚え方
命題(めいだい)
 「文章」にはいろいろな文章がありますが、その中で正しいか、誤りであるかが決められる文章をほかの文章と区別して、命題(めいだい)と言うことがあります。
 数の代わりに使う文字を代数文字とか単に文字といいます。代数文字の混じった文章をついて考えてみましょう。
「nが27で割り切れる」
という文章があるとします。nが27や81や243のとき、
「nが27で割り切れる」
は正しいといえます。n=4とかn=1000のとき、
「nが27で割り切れる」
は、誤りといえます。
 nのような代数文字が混じった文章では、nの値の決め方によって、正しい文章になったり誤った文章になったりする文章があります。こういう文章を「命題関数(めいだいかんすう)」と呼び広い意味で「命題」と同じように扱います。

必要十分(ひつようじゅうぶん)
nが27で割り切れる
   が27で割り切れる
この2つの文章は「命題関数」です。
「nが27で割り切れる」ならば、「   が27で割り切れる」
というときに、―→(矢印)を使って
「nが27で割り切れる」―→「 が27で割り切れる」
と表します。これがなりたつとき、矢印の出発点「nが27で割り切れる」を矢印の到着点十分条件矢印の到着点「 が27で割り切れる」を矢印の出発点必要条件といいます ここでは必要十分条件であることを示せというのですから、
「nが27で割り切れる」―→「   が27で割り切れる」で、
「nが27で割り切れる」←―「 が27で割り切れる」であること、
 つまり、「nが27で割り切れる」←→「 が27で割り切れる」であることを示せいうことなので解法のようになります。「必要十分」とは結局ちょうど「同じこと」を表していることになります。
必要十分の覚え方
「AならばB」、つまり、「A→B」のとき、AはBであるための十分条件であるといい、反対に、BはAであるための必要条件といいます。
 つまり(矢印の出発点)が「十分」、(矢印の到達点)が「必要」というわけです。
しかし、矢印のどっちが必要条件だっけなどという高校生も結構多いです。そこで、そういう場合には

「十」と「必」の字を見比べると、「必」の方が複雑で、矢印の出発点より到達点の方が複雑だ、だから、矢印の到達点には複雑な方の「必」要条件がくるなどとこじつけて覚えるとよいでしょう。

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6. 大学入試と受験算数1 「連一数」5 付記 累と塁について 
《付記》 累と塁
【字義】

かさねる。かさなる。つみかさねる。<累積(るいせき)・累代(るいだい)>
しきりに。しばしば。<累進(るいしん)・累戦(るいせん)>
わずらわす。手数をかける。わずらい。かかわりあい。<係累(けいるい)・家累(かるい)><累(るい)をおよぼす>
  形声。糸+田(畾) 。畾ルイは「かさねる」。糸を「かさねる」の意味を表す。常用漢字の累は、纍(訓まとい まつわ 音ルイ)の省略した形。 


【字義】
とりで。土や石を重ねて築いた小さな城。<孤塁(こるい)・土塁(どるい)>
かさねる。かさなる。=累。<塁累(るいるい)>
野球のベース。<満塁(まんるい)・二塁打(にるいだ)>
  形声。土+田(畾) 。畾ルイは「かさねる」。土を重ねて作った「とりで」の意味を表す。常用漢字の塁は、壘の省略した形。▽塁塁(るいるい)・孤塁(こるい)・城塁(じょうるい)・走塁(そうるい)・石塁(せきるい)・堅塁(けんるい)・残塁(ざんるい) 
大修館「現代漢和辞典」より


形声(けいせい)とは、漢字の造字法を表す六書(りくしょ)の1つです。象声(しょうせい)とか、諧声(かいせい)ともいいます。

六書(りくしょ)とは、漢字の造字および運用の原理を象形(しょうけい)・指事(しじ)・形声(けいせい)・会意(かいい)・転注(てんちゅう)・仮借(かしゃ)の6種類に分類したもの。
六書の具体的な内容は『説文解字(せつもんかいじ)』の序に従うと、以下のようなものです。
1. 象形 事物の形を描いて簡略化した絵文字。日・月・木・耳など。
2. 指事  絵としては描きにくい一般的な事態を、抽象的な約束や、印であらわした字。(形をもたない抽象的な、ようす・動作・状態などを、象徴的に表そうとした字)一・二・三などの数字や、平面上に-印をつけた上や、平面の下を-印で示した下なども指事文字。
乃 ・・・ 耳たぶのようにぐにゃりと曲がったさまを示す指事文字。
※象形文字と指事文字の二種がすべての漢字の基本になる。これを「文」(もん)と呼ぶ。文(もん)は「紋」(もん)の原字で絵模様のこと。
3. 形声 類型的な意味を表す意符と音を表す音符とを組み合わせて字を作ること。
「シ(さんずい)+音符 工」→江や、「シ(さんずい)+音符 可」→河のように、片側に発音を表す音符(つまり意味を表す言葉)を含み、他方にそれが何の事態に関係するかを示す偏(意符)をそえたもの。漢字全体の七~八割は形声に属する。
4. 会意 象形や指事を組み合わせて、さらに複雑な意味を表そうとしたもの。武(戈+止)や、信(人+言)林・炎などの文字。
5. 転注 用字法の一つとする説が有力であるが、定説はない。
6. 仮借 他の同音・類字音の字を借用すること。「わたし」の意味に「我」、「そうだ」の意味に「然」、「くる」の意味に「来」など。
また、外来語に対し日本語のカタカナのように使う文字

 可口可楽(コカコーラ)、百事可楽(ペプシコーラ)、 肯徳基(ケンタッキー)、麦当労(マクドナルド)、莫師漢堡(モスバーガー)、巧克力(チョコレート)、威士忌(ウィスキー)、英格蘭(イングランド)、伊朗(イラン)、喀麦隆(カメルーン)、西班牙(スペイン)、希腊(ギリシア)、奥林匹克(オリンピック)、欧几里得(ユークリッド)、阿基米德(アルキメデス)、比薩的列奧納多(ピサのレオナルド)斐波那契(フィボナッチ)、
吉 拉莫・卡尓达诺(ジロラモ・カルダノ)

参考文献
畾とは ─ 漢字辞典 Weblio辞書

本節のイラストは
日本文化研究会ホームページ
によりました。

『説文解字』とは、西暦100年に後漢の許愼(きょしん)という人が古文学を読むために作った漢字の字書です。漢字を字形によってその基本要素(部首)ごとに分類するとともに小篆体(しょうてんたい)という古い字体を納め、その字義や成り立ちについて解説しています。最古の部首別字書であり、後世の漢字字典、漢字研究に多大な影響を与えています。全15巻540部に漢字9,353字を収録しています。許愼の著書はほかに『五経異義(ごきょういぎ)』『淮南鴻烈間詁(わいなんこうれつかんわ)』があります。
http://www.nichimanhonten.com/nichiman/a03.htm

小篆体(しょうてんたい)は今の日本でも印鑑や旅券(パスポート)などに使われている書体です。


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7. 算数自由研究2 「連一数」と「欠八数」の関係1 清一色
 数学オリンピックにたびたび出ていた「連一数」ですが、2005年に筑波大駒場高校に出て、2008年に東京大学に出て、2010年に光塩女子学院中等科に、今年2011年麻布中に出題されました。
 この種の問題は2008年東京大学の問題や、2011年麻布中の問題でもまだ言い尽くされていない面白い秘密がたくさん隠されています。今後次第に明らかになっていくでしょう。こうした中学入試の動向を取り巻く環境をお伝えしたいと思います。
 その前に、面白い数といえば、142857という数を思い浮かべる人も多いことでしょう。
142857×2=285714
142857×3=428571
142857×4=571428
142857×5=714285
142857×6=857142
142857×7=999999
というのもなかなか面白いので、何度か出ていて本稿でもすでに扱っています。
  では、次に、まだ中学入試には出たことのない方の、面白い性質の数がありますのでご紹介しましょう。

清一色(せいいっしょく 中国読みチンイース)
 8を除いた1から9までの数を並べた8けたの整数12345679を中国では「欠八数(チェパースウ)」と言います。「欠八数」に63をかけると12345679×63=777777777になります。
63に限らず、12345679に9の段の九九の答えをかけると、
12345679×9=111111111
12345679×18=222222222
12345679×27=333333333
12345679×36=444444444
12345679×45=555555555
12345679×54=666666666
12345679×63=777777777
12345679×72=888888888
12345679×81=999999999
となります。
 これを中国では「清一色」と言います。「清」は「混じりっ気なしの」という意味の文字です。
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8. 算数自由研究3 「連一数」と「欠八数」の関係2 三位一体
三位一体(さんみいったい 中国読みサンウェイイーティ)
123456793に3の倍数をかけてみましょう。同じ3ケタの数が3つ並びます。
12345679×12=148148148
12345679×15=185185185
……
12345679×57=703703703
 こういう並びを「三位一体」と言います。
 話は変わって
 ところが、かける数が3の倍数でない時は、清一色も三位一体でもなくなります。ただ、それはそれで一種の不思議な性質が現れます。一個の数字が欠けた9ケタの数になるのです。10から17までの数をかけてみます。ただし、12、15は3の倍数なので除きます。8、7、5、4、2、1が欠けた数9ケタの数ができ、3、6、9が欠けた数はできません。
12345679×10=123456790(欠8数)
12345679×11=135802469(欠7数)
12345679×13=160493827(欠5数)
12345679×14=172839506(欠4数)
12345679×16=197530864(欠2数)
12345679×17=209876543(欠1数)
12345679×19=234567901(欠8数)
12345679×20=246913580(欠7数)
12345679×22=271604938(欠5数)
12345679×23=283950617(欠4数)
12345679×25=308641975(欠2数)
12345679×26=3209987654(欠1数)
 上の(欠8数)どうし、(欠7数)どうし、(欠5数)どうし、(欠4数)どうし、(欠2数)どうし、(欠1数)どうしの数字の並びにも注意してください。数字が巡回しています。

ちょっとの手直しでこれを貫く
 さて、かける数が81を越えたような場合でも、ちょっとの手直しで同じことが続きます。ちょっとの手直しというのは、10桁の数になったら、一番上の数を除いて1の位に加えるのです。
(1) 9の倍数をかける場合
12345679×243=2999999997
10桁になったら、一番左の2を一の位に加えると「清一色」になる。
(2) 9の倍数でない3の倍数をかける場合
12345679×84=1037037036
10桁になったら、一番左の1を一の位に加えると「三位一体」037037037になる。
(3) 3で割って1、2が余る数をかける場合
12345679×98=1209876542
10桁になったら、一番左の1を一の位に加えると「209876543(欠1数)」になる。
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9. 算数自由研究4 「連一数」と「欠八数」の関係3 走馬灯
走馬灯(そうまとう 中国読みソウマテン)
 冬が過ぎれば春が来る。季節が廻るように数が巡回するのをここでは「走馬灯」といいます。これまでの巡回置換(じゅんかいちかん)する巡回数と同じことです。
12345679×19=23456790
12345679×28=345679012
12345679×37=456790123
12345679×46=567901234
12345679×55=679012345
12345679×64=790123456
12345679×73=901234567
12345679×82=1012345678→012345679
12345679×91=1123456789→123456790
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10. 算数自由研究5 「連一数」と「欠八数」の関係4 だいたい逆順
だいたい逆順
 和が9の倍数の1つ違いの2つの数を12345679にそれぞれかけて、数の並びに注目するとだいたい逆順になります。欠5数が欠4数になるので、5が4の代わりになって逆順に並びます。
4と5の場合
12345679×4=49382716
12345679×5=61728395
4を5に変えて逆順
13、14の場合
12345679×13=160493827
12345679×14=172839506
先頭は変えないで4を5に変えて逆順

22、23の場合
12345679×22=271604938
12345679×23=283950617
先頭の2は変えないで先頭以外を4を5に変えて逆順

31、32の場合
12345679×31=382716049
12345679×32=395061728
先頭の3は変えないで先頭以外を4を5に変えて逆順

40、41の場合
12345679×40=493827160
12345679×41=506172839
先頭以外は逆順

49、50の場合
12345679×49=604938271
12345679×50=617283950
先頭の6は変えないで先頭以外を4を5に変えて逆順

58、59の場合
12345679×58=716049382
12345679×59=728395061
先頭以外は4を5に変えて逆順

67、68の場合
12345679×67=827160493
12345679×68=839506172
先頭以外は4を5に変えて逆順

上の一連の4、13、22、31、40、49、58、67をかける場合の積どうしは「走馬灯(巡回置換)」になっていて、上の一連の5、14、23、32、41、50、59、68をかける場合の積どうしも「走馬灯」になっていることにも気づくでしょう。

 なお、たとえば、506172839は「欠八数」と41の積です。
これを3倍すると、506172839×3=1518518517→518518518となり、三位一体のパタンになります。

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11. 算数自由研究6 「連一数」と「欠八数」の関係5 連一数の平方
連一数の平方
連一数(1が並んだ数)の平方について考えてみましょう。
11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
11111×11111=123454321
111111×111111=12345654321
1111111×1111111=1234567654321
11111111×11111111=123456787654321
111111111×111111111=12345678987654321
というのは知っている人が多いと思います。
では、1がもっともっと無限に並んだ連一数の平方はどうなるでしょう。
10÷9= =1.111111111111…
です。すると、
(1.111111111111…)×(1.111111111111…)
× =100÷81です。
100÷81=1.2345679012345679012345679012346……
 よーく見てください。8を欠いた数字がずっと並ぶのです。
7と8と9と10が1桁ずつずらして並べてたし算をすると、こうなりそうですね。


「連一数」と「欠8数」との関係でした。
「欠8数」について、中国のサイト(中国語)には充実したものがあります。日本でも、「12345679」で検索するといくつか見当たりますが、まだこれからという印象です。本稿が刺激となって、日本のサイトのさらなる充実につながるかもしれません。
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12. 中学入試問題研究1 「連一数」筑駒高校入試の場合 (2005年 筑波大駒場高校4番)
  数学オリンピックにしばしば出ていた「連一数」を2005年筑波大附属駒場高校では次ように出題しました。
問題
  1、11、111、1111、……のように各位に同じ数字1が並ぶ自然数を1連数と呼ぶことにします。ある数に適当な自然数をかけて1連数をつくることを考えます。たとえば、次のように7に自然数をかけて1連数をつくることができます。
7×15873=111111………………(*)
  次の問いに答えなさい。
(1) 3にどのような自然数をかければ、1連数になりますか。 かける数として考えられるもののうち、最も小さい数とその次に小さい数を求め、それぞれ上の(*)のような等式で答えなさい。
(2) 33に適当な自然数をかけて1連数をつくりました。それらの1連数のうち、最も小さいものを求めなさい。
(3) 6363に適当な自然数をかけて1連数をつくりました。それらの1連数のうち、最も小さいものは何けたの数ですか。
(2005年 筑波大付属駒場高校4番(4題中の4番))
■解法■
(1) 1が3の倍数個並んでいないと3の倍数になれません。111とその次は111111です。
  111÷3=37、111111÷3=37037なので、答えは3×37=111、3×37037=111111
(2) 33=3×11なので、3の倍数になることと11の倍数になることを合わせて考える。
  3の倍数にするためには1を3の倍数個並べればよい。
11の倍数にするには1を偶数個並べればよい。
  よって、33の倍数にするには、1を6の倍数個並べればよい。
111111÷33=3367なので、答えは111111
(3) 6363を素因数分解すると、
6363=9×7×101
となります。9、7、101の倍数にすることを考えます。
9の倍数にするには1を9の倍数並べます。
7の倍数にするには1001=7×11×13の倍数111111=1001×111なので、1を6の倍数個並べます。
101の倍数にするには、1111=11×101なので、1を4の倍数個並べます。
よって、6363の倍数にするには、1を9、6、4の最小公倍数36の倍数個並べればよい。
★答え★ (1) 3×37=111、3×37037=111111  (2) 111111  (3) 36

《付記1》
(1)と(2)は1をいくつか並べて割り算してもすぐできますが、(3)は少し考えなければいけませんから、出題当時高校入試としてもあまり出ていない珍しい問題なので、(同高校)受験生にとってもかなり難しかったのではないかと推察されます。本稿の読者であれば楽しめるのではないでしょうか。
《付記2》
 私が「連一数」と呼んでいる同じものを、筑波大駒場高校の出題者は「一連数」と呼んでいます。正式名称ではないので、その場で定義してどう呼んでもよいわけで、それなら、先に名づけた筑波大駒場高校の出題に出てきた用語に合わせた方がよいのではないかとも思いましたが、1が9個並んだ数を「9連1数」などと呼ぶほうが説明に都合がよいので、ここでは「連一数」として進めたいと思います。出題文本文はさすがに変えられませんので、出典そのままにしてあります。
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13. 中学入試問題研究2 「連一数」光塩女子学院中の場合 (2010年 光塩女子学院中4番)
「連一数」は2008年に東大前期理系第5問で出て、2年後に2010年光塩(こうえん)女子学院中に出題されました。同中の最寄りの駅は「高円寺(こうえんじ)」です。「こうえん」と「こうえんじ」ってなんか覚えやすくていいですね。宗教的には大きく違うのでしょうが。
 ここでは、同中で出題された「連一数」について、とり組んでみましょう。
問題
 整数には次のような性質があります。
• 性質1 それぞれの位の数の和が9の倍数となるとき,その整数は9の倍数である。
• 性質2 『右から奇数番目の位の数の和』と『右から偶数番目の位の数の和』の差が11の倍数となるとき,その整数は11の倍数である。
 このとき,次の各問いに答えなさい。
(1) 111111111は99の倍数ですか。99の倍数であれば○を,そうでなければ×を記入しなさい。
(2) 7けたの整数26□△607について,□と△にあてはまる数の組を考えます。ただし,□と△には,0から9までの整数が入り,□は△より大きいとします。また,答えが□=1,△=0の組と□=2,△=1の組の場合,解答は(□,△)=(1,0),(2,1)と書くことにします。
① 26□△607が9の倍数になるとき,□と△にあてはまる数の組をすべて答えなさい。
② 26□△607が99の倍数になるとき,□と△にあてはまる数の組をすべて答えなさい。
(2010年 光塩女子学院中4番)
■解法■
(1) 99=9×11の倍数であるためには、
9の倍数であること→1が9の倍数個並んでいること
11の倍数であること→1が偶数個並んでいること
の両方の条件が成り立たなければなりません。
111 111 111は1が9個並んでいますから、9の倍数ですが、11の倍数ではありません。ですから、99の倍数ではありません。
① 26□△607が9の倍数であるためには2+6+□+△+6+0+7が9の倍数であればよい。
2と7を組み合わせて消し、0も消すと、
6+□+△+6→12+□+△→3+□+△
が9か9の倍数であればよい。
つまり、□+△=6であればよい。ただし、□が△より大きいので、
(□,△)=(4,2)か(5,1)か(6,0)となる。
② 9の倍数である上に11の倍数でもある。
9の倍数 2642607、2651607、2660607
のうち、11の倍数を探します。
2-6+4-2+6-0+7=11なので2642607は99の倍数です。
2-6+5-1+6-0+7=11-2=9なので2651607は99の倍数ではありません。
2-6+6-0+6-0+7=11-2-2=7なので2651607は99の倍数ではありません。
★答え★
(1) ×  
(2) ① (□,△)=(4,2),(5,1),(6,0) ② 2642605
《付記1》
(1)の99などは筑波大駒場高校入試の33に似た、なかなか高級な問題です。
《付記2》
「連1数」ならぬ「連9数」の倍数の見分け方はあとでも述べるつもりですが、とりあえず、99の倍数の見分け方は、一の位の方から2個ずつ区切ってたした和が99の倍数であれば99の倍数です。
99の倍数から99を引いても99の倍数であることには変わりない。
99を引くということは、100を引いて1を足しても同じことです。

一般にABCDEFGが99の倍数かどうかは、
A+BC+DE+FGが99の倍数かどうかで調べることができます。
ひるがえって、(1)の111 111 111は、99で割ると1+11+11+11+11=45余ります。
「光塩女子学院」の校名の由来は、「聖書(マタイによる福音書)」の言葉から。「人は誰でもかけがえのない存在で、ありのままで神から愛されており、一人一人はそのまま世を照らす光であり、地に味をつける塩である」という意味のようです。

高円寺(こうえんじ)は、東京都杉並区高円寺南4丁目にある曹洞宗(禅宗)の寺院に由来する地名。
高円寺(東京都杉並区)と言えば、「高円寺阿波(あわ)踊り」でも有名。「阿波踊り」は阿波(あわ 四国徳島県)が発祥の地ですが、現在日本全国に広がっていて、なかでも高円寺の阿波踊りは有名になっているようです。「盆踊り」ではもう1つ「相馬盆歌」も有名で、これは今回の大地震に伴う原発事故の被災地「福島」が発祥の地です。
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14. 中学入試問題研究3 27と37の倍数について (2005年 大阪星光学院中1番(2))
 東京大学(2008年)の問題文中「27の倍数」ということが出てきていますが、「27の倍数」に関しては、本稿でも述べています。

5. 影の面積(等積移動)(2008年 麻布中) (本稿第23回)この節は少し長く、該当箇所をみつけにくいかもしれないので、再掲すると、
……ところで、27の倍数を直接見分ける方法はないのかというと、ないこともありません、3けたずつ区切ってたした和が27の倍数であればよいのです。
 なぜかというと、999=27×37です。ですから、
27や37の倍数を見分けるには、999を引けるだけ引いて小さくしてから割ればよいのです。999を引くということは、千の位から1を引いて一の位に1を足せばよいのです。たとえば、4けたの整数1234が27の倍数かどうかを調べるには、235で調べればよいのです。999を引くということを繰り返すことを考えると、たとえば、2回繰り返すとしたら、千の位から2を引いて一の位に2をたしても同じです。
 例えば、6けたの数123444が27の倍数かどうかを調べるには1000を123回引いて1を123回足せばよいのですから、444+123=567で調べればよいのです。
 ちなみに、ここでは、567=27×21ですから、123444は27の倍数です。
 こういうことをいうと、じっと考えていた子から
「どうして999が27の倍数と気づいたのですか」という質問が飛んでくることがあります。
いい質問です。ここで話が、ぐっと広がります。
「1を27で割ると、0. 037037037037037037…となるよね。
これで27の倍数の見分け方は3けた区切りのたし算と分かるんだが、この場合は、これに27をかけると
0.999999999999999999…となるので、ちょん切ると999=27×37と分かるのさ。
=1÷27=0.037037037……=
 だから、
 というわけで、999=27×37と考えてもよい。」

などと答えるとよいでしょう。
 これをこのまま覚えるのではなく、考えるヒントにして、自分でも何か気づいてほしいところです。

と書きました。この知識の応用例としては、次の大阪星光学院中(2005年)の問題が格好です。
問題
(2) 6けたの整数2□6□1□は,27と37の公倍数です。このとき,万の位の数字は     , 百の位の数字は     ,一の位の数字は     です。
(2005年 大阪星光学院中1番(2))

■解法■
 27と37の公倍数ということは、27×37=999の倍数ということです。
6桁の数2A6B1Cが999の倍数であれば、2A6B1Cから999を2A6回引いても999の倍数です。1000を2A6回引いてから、1を2A6回足しても999の倍数です。

2998は考えられないので、
 つまり、B1C+2A6は999の倍数です。だから、B1C+2A6=216+BACが999の倍数だからBAC=999-216=783、つまり、B、A、Cは7、8、3です。
★答え★ 8、7、3
《付記》
 何と素敵な問題でしょう。いろんなレベルの人がそれぞれの力で取り組める、そうして、取り組んでいると、だんだん深みが顔を出すところは逸品です。
 私は神奈川に住んでいますので、主に首都圏の中学受験を中心に考えていますが、関西のキリリとした問題にはしばしば感動させられます。
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15. 算数自由研究7 倍数の見分けの発展
  さて、前節の2005年の大阪星光学院中を見たとき、何か突き動かされるものを感じた人もいるのではないでしょうか。「倍数の見分け方の発展」について何か法則性があるのではないか、もっと知りたいという思いが募ったのではないでしょうか。ここでは従来の方法とその少しの発展系について述べたいと思います。

倍数の見分け方
2の倍数の見分け方 一の位が0、2、4、6、8の整数は2の倍数。
4の倍数の見分け方 下2桁が4の倍数の整数は4の倍数。
8の倍数の見分け方 下3桁が8の倍数の整数は8の倍数。
2nの倍数の見分け方 下n桁が2nの倍数の整数は2nの倍数。

5の倍数の見分け方 一の位が0、5の整数は5の倍数。
25の倍数の見分け方 下2桁が25の倍数の整数は25の倍数。
125の倍数の見分け方 下3桁が125の倍数の整数は125の倍数。
5nの倍数の見分け方 下n桁が5nの倍数の整数は5nの倍数。

11の倍数の見分け方、各位を交互に足し引きした結果が11の倍数。
(ABCDEF=F-E+D-C+B-Aが11の倍数)

101の倍数の見分け方、下から2桁ずつ区切って交互に足し引きした結果が101の倍数。
(ABCDEFG=FG-DE+BC-Aが101の倍数)

7(や13や1001)の倍数の見分け方 下から3桁区切りを交互に足し引きした結果が7(13、1001)の倍数。
(ABCDEFG=EFG-BCD+Aで判定)

73(や137や10001)の倍数の見分け方 下から4桁区切りを交互に足し引きした結果が73(137、10001)の倍数。
(ABCDEFGH=EFGH-ABCDで判定)

9091(や100001)の倍数の見分け方 下から5桁区切りを交互に足し引きした結果が9091(や100001)の倍数。
(ABCDEFGHIJ=FGHIJ-ABCDEFで判定)

 9の倍数の見分け方 各位の数を足した和が9の倍数であれば9の倍数です。
 99の倍数の見分け方 下から2桁ずつ区切って足した和が99の倍数であれば99の倍数です。

27(や37や999)の倍数の見分け方 下から3桁区切りの和が27(や37や999)の倍数
(ABCDEFGHI=ABC+DEF+GHIで判定 下の位から3桁ずつ区切る)

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16. 中学入試問題研究4 連分数の問題 (2010年 那須高原海城中7番)
  前回、「連分数」は日本の中学入試にほとんど出ないと書きました。実際そうですが、2010年の那須高原海城中に出ていますので、今回はこれに取り組んでみましょう。

問題
  記号1 ,…を間にはさんだ数の列を考え,(例)のように,それを1つの分数や整数にする規則を定めます。このとき,次の問いに答えなさい。

(1) 8 61 9 5を1つの分数にしなさい。
(2) A  B  C  D  E= のとき,4つの  の中にあてはまる整数を,それぞれ入れなさい。
(3) F,G,H,I は3,5,7,9のどれかで,4つとも異なり,1  F  G  H  I=105とします。
① 4つの  の中にあてはまる整数を,それぞれ入れなさい。
② F,G,H,I の4つの文字のうち,値が確実に決まる文字が,1つあります。それはどの文字で,値はいくつですか。
(2010年 那須高原海城中7番)

解説
  どうですか。パッと見たとき、問題の意味さえつかめないという人も多かったのではないでしょうか。  は分数の横棒を表し、 の中の数が大きい方が横棒が長いと気がつきましたか。



★答え★
(1)
(2) A B C D E (A B C D Eでもよい)
(3)① 1 F G H I   ② (文字) F (値) 3
《付記》
 慣れないことからくる違和感のようなものが少し感じられたかと思います。ただ、難しそうだけれど、結局答えはできたという人が案外多かったのではないでしょうか。答えがあれこれありそうで危なっかしいそうな問題ですが結局限定されるところが面白いですね。日本の中学入試としては、かなり珍しい問題といえそうです。受験生はあまり考え込まないでとりあえず歩き出すと、案外ひとりでに簡単にできてしまったのではないでしょうか。
 震災の影響かと思われますが、同中では、2012年の入学試験(生徒募集)は行いません。
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17. 算数自由研究8 連分数2 分数パタパタ 中国小学数学奥賽から
 連分数の計算問題ですが、これまで、日本の受験算数では、あまり出ていません。一方、中国の競賽とか奥賽とか言われる難しい算数の試験問題には時折出てきます。中国の小学生が取り組んでいる連分数を見てみたいという人もおられるかと思い、10題程度ずつ3回に分けてご紹介したいと思います。として、前回10題ほどご紹介しましたが、概して好評でホッとしています。
  ある校舎などでは、「ぱたぱた分数」と名づけてとりくんだそうです。4階建ての分数が扇子をしまうときのようにぱたぱたと片付いている様子を表しているのでしょう。詩の様は素敵な表現で、楽しんでいる心映えがよく反映されているように思います。
 さて、今回も10題ほどご紹介します。取り組むとわかると思いますが、前回より少し難しいです。
連分数の計算

■解法■


 どうですか。中国の小学生文化もなかなか面白いでしょう。「どこがむずかしいの、全然やさしかった」という人もいるでしょうか?そういう人は、次回「連分数3」は、もっと難しいかもしれませんのでお楽しみに。
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18. 中学入試問題研究5 平面植木算1 (2010年 神奈川学園中5番)
 早くも11月です。書き洩らした事がたくさんあったようで気になります。前回、広義植木算は漸化式や算数的帰納法の理解に役立つので時々は出してほしいと書きましたが、比較的新しいものをご紹介しましょう。
問題
 円を直線で分割することを考えています。例えば,円に直線を2本引くと,最大で4つの部分に分割できます。次の各問いに答えなさい。

(1) 円に直線を3本引くとき,最大何個の部分に分割できますか。
(2) 円に直線を8本引くとき,最大何個の部分に分割できますか。
(3) 円を79個の部分に分割するには最低何本の直線が必要ですか。
(2010年 神奈川学園中5番)
■解法■
(1) 1+(1+2+3)=7(個)
(2) 1+(1+2+3+……+8)=37(個)
(3) 79-1=78
78×2=2×2×3×13=12×13
78=12×13÷2なので12本
★答え★ (1) 7個  (2) 37個  (3) 12本
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19. 中学入試問題研究6 平面植木算2 (2006年 大阪星光学院中1番(4))
問題
(4) 次の図のように,3辺の長さが5cm,12cm,13cmの直角三角形の中に,1辺の長さが1cmの正方形を重ならないようにできるだけたくさん入れるとき,    個の正方形が入ります。
  また,3辺の長さが15cm,36cm,39cmの直角三角形の中には    個の正方形が入ります。

(2006年 大阪星光学院中1番(4))
■解法■
 1辺1cmの正方形を並べて、縦12cm、横5cmの長方形を作り、図のように赤い対角線をひくと、この赤線は何個の正方形を通るでしょうか。

 対角線(赤線)は4本の縦線(水色線)と4点で交わり、11本の横線(深緑線)と11点で交わる。つまり、対角線(赤線)は縦線(水色線)と横線(深緑線)とで合わせて15点で交わり16本の線分に分けられる。
 16本の線分は、1本1本が、おのおの、1個の正方形を通るので、16個の正方形に赤線が引かれる。
 赤線が引かれなかった正方形の半数が求める答えであるから、
(12×5-16)÷2=22(個)
 また、3辺の長さが15cm、36cm、39cmの直角三角形は、先の直角三角形と相似であるから、
22×3+60×3
=82×3=246(個)
★答え★ 22(個)、246(個)
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20. 中学入試問題研究7 天秤の釣り合い (2011年 立教女学院中4番)
 2011年筑波大駒場中の理科の天秤について書いたとき、どこかで、よくある普通の算数の天秤の問題も出ししておかなければと思っていました。N社の本科テキストでも扱っていますのでまあ大丈夫だと思いますが一応触れておきます。
n進数記数法の応用 筑駒の理科7番 (2011年 筑波大附属駒場中(理科)7番) (2011年本稿第50回)
http://www.geocities.jp/yoimondai/3/e50.html#10
問題
  てんびんのつり合いを利用して,ものの重さを量ろうと思います。
(1) てんびんの左側にものをのせ,右側におもりをいくつかのせます。1g,3g,6gのおもりがあるとき,何種類の重さが量れますか。
(2) てんびんの左側にものをのせ,右側または左右におもりをいくつかのせます。1g,3g,6gのおもりがあるとき,何種類の重さが量れますか。
(3) てんびんの左側にものをのせ,右側または左右におもりをいくつかのせます。1g,3g,9gのおもりがあるとき,何種類の重さが量れますか。
(4) おもりを4つにして,1gから連続した整数のものの重さを量ろうと思います。もっとも多くの種類の重さを量ることができるおもりの組み合わせを考えるとき,何種類の重さが量れますか。
(2011年 立教女学院中4番)

■解法■
(1) 1g、3g、6gのそれぞれを使うか使わないかの2通りずつだから、
2×2×2=8(通り)
何も使わない0gは除くので、8-1=7(通り)
次のような表に表すと、わかりやすい。
 1g 3g  6g  合計(g) 
 0     0  0
 6 6
 0  3
 6  9
 1     0  1
 6  7
 0  4
 6  10

(2) 1、3-1=2、3、3+1=4、6-1=5、6、6+1=7、
6+3-1=8、6+3=9、6+3+1=10 1から10までできるので10通り
(3) 1、3-1=2、3、3+1=4、
9-1-3=5、9-3=6、9-3+1=7 9-1=8
9
9+1=10、9+3-1=11 9+3=12 9+3+1=13
1から13までできるので13通り
(4) (1、2、3、……、13)、
27-(1、2、3、……、13)=(26、25,24、……、14)
27
27+(1、2、3、……、13)=(28、29、30、……、40)
1から40までできるので40通り
★答え★ (1) 7種類  (2) 10種類  (3) 13種類  (4) 40種類

 こういう問題を一応解いてから、筑波大駒場中の理科の問題を解くとすごく力が付くと思います。こういう問題を本科で扱わないはずはないと思いますが一応書いておきました。
n進数記数法の応用 筑駒の理科7番 (2011年 筑波大附属駒場中(理科)7番) (本稿第50回)

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21. 中学入試問題研究8 分数の等比数列 (2010年 東京純心女子中6番)
 分数の等比数列です。この趣旨の数列はすでに珍しくないのですが、出し方に、大学入試の雰囲気があるように思いますが、どうでしょうか。
問題
次のように,ある規則にしたがって分数が並んでいます。
,…
このとき,次の各問いに答えなさい。
(1) 7番目の数を求めなさい。
(2) 1番目から4番目までの数の和を求めなさい。また,整数1からその和を引いた数を求めなさい。
(3) 1番目から8番目までの数の和を求めなさい。
(4) 1番目からの数の和が,0.999より大きくなる場合を考えます。その中で,1番小さな和を求めなさい。
(2010年 東京純心女子中6番)

■解法■


(1) × ×
(2) ++ +
また、1-
(3)+++,+,+

(4) 1との補数が1-0.999=0.001より小さくなる、 を求めることになります。
この分数列を小数で表してみましょう。0.5を2で割り続けます。
0.5、0.25、0.125、0.0625 0.03125
0.015625
0.0078125
0.00390625
0.001953125
0.0009765625
1÷210
=1÷1024=0.0009765625
1-0.0009765625=0.99902343475
★答え★
(1)    (2) 、    (3)   (4) (0.99902343475)
(2010年 東京純心女子中6番)
《付記》
 この(4)のような問題は大学入試ではよくある聞き方です。しかし、中学受験生には、難しい違和感のよなものを感じるかもしれません。中学受験算数に出そうという出題者の思いが感じられるものの途中であきらめたというような気配のある問題も多いので、「お、この先生ついにやったね。(パチパチパチ)」という感じがします。
 東京純心女子中は東京都八王子市にある女子校です。同高等学校から姉妹校である東京純心女子大学への進学は近年見られなくなり、また、2011年4月 完全中高一貫校に移行(2011年度より高校募集停止)するなど、進学校色を強めている感じがします。

 昔、行ったときは八王子からバスで大分かかりましたが、最近、朝夕は10分くらいで行けるバス便がある模様です。このあたりは受験前に一度行って確認するとよいでしょう。
210=1024 は私は覚えています。時々ふいに出ることがよくありますから、覚えられれば覚えておきましょう。

 昔、ラジオで、「ガマの油売り」の口上で、よく切れる刀の自慢として、「1枚が2枚、2枚が4枚、4枚が8枚、8枚が16枚、16枚が32枚、32枚が64枚、64枚が128枚、……」なんていうのを聞いた覚えがありますが、最近は聞きませんねえ。ともあれ、それを聞いて、真似をして、2の累乗の数列を覚えてしまいました。ただ、2倍は簡単なので、覚えておかなくてもその場ですぐに取り出せそうにも思います。
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22. 中学入試問題研究9 ラングレーの問題 (2010年 共立女子第二中4番)
「ラングレーの問題」の比較的新しい問題がありました。2010年の共立女子第二中1回AM(午前)の4番です。
問題
 右の図で,AB=CDであるとき,次の各問いに答えなさい。

(1) 角アは何度ですか。
(2) 角イは何度ですか。
(3) この図の中に二等辺三角形はいくつありますか。
(2010年 共立女子第二中4番)

略解
(1) 右の図の5本の赤線で示した線の長さが等しい。

三角形ACEは正三角形
三角形ACDは角ACDが100度の二等辺三角形。角DAC=40(度)
ア=60-40=20(度)
• (2) 三角形CDEは角ECDが40度の二等辺三角形。角CDE=70(度)
イ=70-40=30(度)
• (3) 三角形ABC、ACD、CDEの3つ、正三角形ACEも入れて4つ。
三角形FCDも40度、40度、100度の二等辺正三角形で5つ。
★答え★ (1) 20度  (2) 30度  (3) 5個

《付記》
 この問題で(3)はさほど重要かなあ、という気がしますが、ちょっとしたなぞなぞのようなものと考えることもできます。
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23. 中学入試問題研究10 2倍して5を引くと11の倍数 (2011年 大阪星光学院中1番(2))
 大阪星光学院中の整数の軽妙な問題を2題に取り組んでみましょう。
問題
(2) 2けたの整数から1をひくと17で割り切れ,また,この整数を2倍して5をひくと11で割り切れます。このとき,この整数は    です。
(2011年 大阪星光学院中1番(2))
解説
2けたの整数から1を引くと17で割り切れる。
ということは、
ある2けたの整数は17で割ると1余る
という意味です。
2倍して5を引くと11で割り切れる。
ということは、
その2けたの整数を2倍すると11で割ると5余る。
ということで、さらに、いいかえれば、2倍するまえは11で割ると8余るということです。
 11で割ると8余る数は2倍してから11で割ると5余るからです。
以上を踏まえると問題は
ある2けたの整数があります。
17で割ると1余り、11で割ると8余ります。
この2けたの整数を求めなさい

と書きかえられます。17×n+1-8で、nの値を変えた時に11の倍数になるものを選べばよいでしょう。
 n 1  2  3  4  5  6 
 17×n+1 18  35  52  69  86  100 
 17×n+1-8
(11の倍数を探す)
 10 27  44  61  78  95 
44がみつかるので、答えは3番目52になります。
52-1=51 51÷17=3 成立
52×2-5=104-5=99 成立
★答え★ 52
2倍は11で割ると5余るということで、5は2で割れないので、11を加えて16として2で割ればよいのです。11で割ると16余るというるので、さらに、いいかえれば、2倍しなけば11で割ると8余るといえます。これを剰余系で表すと、
□×2-5≡0(法11)
□×2≡5(法11)
□≡8(法11)
となります。
2×8≡5
なので、□≡8なのです。
これは、11を法とする剰余系の2の段の掛算表を書くと次のようになります。

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24. 中学入試問題研究11 7をたし11もたし77の倍数を作る (2009年 大阪星光学院中1番(2))
2題まとめて扱おうと思いましたが、後で引用するときに絞り込みにくいので、なるべく小刻みに分けて述べることにしたいと思います。
問題
(2) ある整数に7をたすと11で割り切れ,11をたすと7で割り切れます。このような整数のうち,3番目に小さい数は    です。
(2009年 大阪星光学院中1番(2))
■解法■
 7の倍数に7を足しても7の倍数であることには変わりません。
 11の倍数に11を足しても11の倍数であることには変わりません。
 ある数に7を足すと11で割り切れ、ある数に11を足すと7で割り切れとあるので、このある数に、7と11の両方を足すとどうなるでしょう。7と11の両方の倍数になるのです。
77×1、77×2、77×3、
 3番目は231です。231-7-11=213
確かめ 213+7=220……11の倍数(成立)
213+11=224……7の倍数(成立)
★答え★ 213
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25. 中学入試問題研究12 外サイクロイド仮面をつけた整数 (2010年 桐朋中7番)
問題
  a,bは整数で,aはbより大きい数です。周の長さがacmの円(ア)と周の長さがbcmの円(イ)があり,円(ア)の周上に点A,円イの周上に点Bがあります。

 円(イ)は,2つの点A,Bが重なるところから出発し,〈図1〉のように,円(ア)の周のまわりをすべることなく回転し,矢印の方向へ,点Bが点Aにふたたび重なるまで動きます。このとき,円(ア)の周上で点Bが重なる点に,順に① ,② ,③ ,……と番号をつけます。
たとえば,aが6,bが4のとき,円(ア)の周上の点に〈図2〉のように番号がつきます。
(1) aが10,bが4のとき,円(ア)の周上の点に① ,② ,③ ,……の番号をつけなさい。
(2) aが24で,点Aに ⑩の番号がつくとき,bはいくらですか。考えられる数をすべて書きなさい。
(3) aが28のとき,矢印の方向に番号を見ると,③ の次は点Aについた最後の番号になります。このとき,bはいくらですか。考えられる数をすべて書きなさい。
(2010年 桐朋中7番)
■解法■
(1)

(2) 1周を8等分して奇数目盛りずつ進む。

bは3、9、15、21が考えられる。
(3) 28の約数 1、2、4、7、14、28
のうち3より大きい約数4、7、14、28で円を等分する目盛りをつける。
4等分の場合
③の次が ④になるので、1目盛りは円周の4等分になる。
28÷4=7cm

7等分の場合
③の次が⑦ になるので、③ は第6目盛りになるので、① は第2目盛りとなる。
28÷7×2=8(cm)
円周28cmを7等分する→Aは⑦


14等分の場合
③ の次が⑭ になるので、③ は第13目盛りになるが13は3の倍数でないので、もう1周すると第27目盛りとなり3の倍数目盛りになる。27÷3=9、 ① は第9目盛りとなる。
28÷14×9=18(cm)
円周28cmを14等分する→Aは ⑭

28等分の場合
③ の次が(26) になるので、③ は第27目盛りである。① は第9目盛りである。
28÷28×9=9(cm)
★答え★ (1)   (2) 3、9、15、21  (3) 7、8、9、18

《付記》
点Bの動く軌跡(きせき あしあと)は外サイクロイド曲線になります。内側の定円と外側の動円の半径の比が5:1の場合は次の図のようになります。

内側の定円と外側の動円の半径の比が5:2の場合は次の図のようになります。

(1)の問題に近い5:2の動画がウィキペディアにありますのでリンクしてご紹介します。一応全体の様子をイメージするためであり、解法に際しては、正確な図は不要です。
(動画)外サイクロイド曲線5:2の場合
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/20/Epicycloid(5,2)_animated.gif

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26 大学入試問題研究 さいころを3回投げたときの確率 (2011年 会津大学3番)
問題
  1個のサイコロを3回投げるとき,以下の問いに答えよ。
(1) 出た目がすべて異なる確率を求めよ。
(2) 出た目の和が5となる確率を求めよ。
(3) 出た目の最大値が2となる確率を求めよ。
(4) 出た目の積が60となる確率を求めよ。
(2011年 会津大学3番)

■解法■
(1) 1回目に何かの目が出る確率は100%です。
 2回目に、1回目の目と違う目が出る確率は
 3回目に、1、2回目の目と違う目が出る確率は
 よって、1× ×

(2) 出た目の順に足すと5になるのは
 1+1+3、1+2+2、1+3+1、2+1+2、2+2+1、3+1+1
の6通りなので、

(3) 112 121 122 211 212 221 222
 毎回1か2の2通りずつ考えられ、ただし、1ばかり3回出るのはない
2×2×2-1×1×1=7
 よって、求める確率は

(4) 5は不可欠で、あとは3か6が必要なので、3×5×4か、6×5×2の2種の組み合わせが考えられる。
3P3×2=12
 よって、求める確率は
★答え★ (1)   (2)   (3)   (4)
 では、今回も最後までご覧いただきありがとうございました。
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