ＲＣＩ

<３つの係数>

相関係数といえば、次の３つが統計学の教科書に載っている。

• ピアソンの積率相関係数
  
  
• スピアマンの順位相関係数
  
  
• ケンドールの順位相関係数
  
  

<ピアソンの積率相関係数>

たとえば、「体重」 と 「年収」 に相関があるかを調べるとする（よほど特殊な職業でない限り相関はないと思うが）。

n 人の人を調査して、体重を x( i )、年収を y( i ) とし、座標上に点 ( x( i ), y( i ) ) を描き入れたのが右の図（ i = 1, 2, …, n）。これを 「散布図」 という。

M_x , M_y を次式で表される平均値とする。　

<性質>

-1≦R_P≦1 である（これはャVュワルツの不等式から証明できる）。
いろいろな散布図に対して、R_P の値を計算したのが下の図。

(a) RP = 1.00

(b) RP = 0.76

(c) RP = 0.00

(d) RP = -0.81

(e) RP = -1.00

散布図が、直線的に右肩上がりになっていると、R_P = 1 である［ 図(a) ]。
逆に、直線的に右肩下がりなら、R_P = -1 である［ 図(e) ]。

完全に直線的ではなくても、おおむね右肩上がりなら、R_P はそれなりに大きな値になる［ 図(b) ]。
おおむね右肩下がりの傾向があれば、それなりのマイナスの値になる［ 図(d) ]。

なんの傾向もないなら、R_P はゼロに近い値になる［ 図(c) ]。

「体重」 と 「年収」 の例ならば、次のようになるだろう。

(b) ならば、体重が増えるほど年収は高くなると結論できる。
(d) ならば、体重が軽いほど年収は高いことになる。
(c) ならば、体重と年収に相関はないということになる。

計算法から容易にわかることだが、定数 K を加えて、x( i ) のかわりに x( i ) + K を用いても R_P の値は変わらない。y( i ) についても同様である。
つまり、散布図を平行移動しても、相関係数は変わらない。

また、K＞0 ならば、これを掛けて、x( i ) のかわりに K*x( i ) を用いても R_P の値は変わらない。y( i ) についても同様。
つまり、縮尺を変えても、相関係数は変わらない。例えば、体重をグラムで計ってもポンドで計っても相関係数に影響はない。

縮尺によらないことに関係しているのだが、上の散布図 (a)、(e) で、直線の傾きを 45°として描いていることに深い意味はない。
直線状に点が並んでいれば、R_P = ±1 になるのであって、勾配は関係ない。
わずかに右肩上がりでも R_P = 1 になるし、やや右下がりでも R_P = -1 になる。

<株価に適用>

当日から過去 n日間の株価で、ピアソンの積率相関係数を求めてみる。

たとえば、右図はソニーの 2001年12月14日〜2002年1月10日までの終値のグラフ。
これを散布図と見て R_P を求めるのである（右図では R_P = 0.74 になる）。

つまり、x( i )、y( i ) を次のように定めて、相関係数を求めることになる。

x( i ) = n - i

y( i ) = P(i - 1)

【注】 P( k ) は、k日前の株価である。通常と逆向きに添え字を付けたため x( i ) = i ではないことに注意。また、当日の株価を P(0) とする関係で、y( i ) = P( i ) ではダメである。

<解釈>

R_P をテクニカル指標的な立場から解釈し直してみる。

x( i ) = n - i だから、M_x と S_xx は容易に計算でき、次のようになる。

S_yy = (n-1) σ²

f(i) = 2(n-i)/{n(n+1)}　(i = 0, 1, …, n-1)

f(i) = 0　（i≧n）

T_n[P] = AVG_f[P]

T_n は、(2n+1)/3 日移動平均である

短期線 T_n[P] と長期線 A_n[P] の差を、ボラティリティ σ で割って規格化したものである

短期線が長期線の上にある[下にある] ⇔ R_p＞0 [＜0] である

<ベクター・モメンタム>

ベクター・モメンタムというのがここのページに書いてある。
有名な指標なのかは知らない。

要するに、株価をチャート表示したとき、直近 n日における回帰直線の傾きのことらしい。
回帰直線の傾きを m とすると、これは次の式で与えられる（詳しくは統計の本を参照してください）。

<スピアマンの順位相関係数>

ピアソンの積率相関係数には、欠点がある。

例えば、散布図が右図のようになっている場合。
明らかに右肩上がりになっているが、R_P = 0.91 である。
完全に直線的に並んでいないと R_P = 1 にならないためである。
しかし、右図の場合、相関係数は１になる方が自然だろう。

そこのところを改良したのが、スピアマンの順位相関係数である。
n個のデータの場合、x( i ) をそのまま考えるのではなく、x( i ) のうち１番小さいものに１を割り当て、２番目に小さいものに２を割り当てるという具合に順位をつけていく。

例えば、データ４個で、

x(1) = 50
x(2) = 32
x(3) = 18
x(4) = 45

R[x(1)] = 4
R[x(2)] = 2
R[x(3)] = 1
R[x(4)] = 3

【注】 値の等しいものがある場合は “平均順位” を付ける。平均順位についてはここのサイトを見ればわかると思う。

順位を考える前

順位を考えた後

<計算法>

R[x( i )]、R[y( i )] は、順序を除けば 1〜n の値をとる。
そのため、R_S の計算は著しく簡単化でき、次のようになることが知られている（導出も難しくない）。

【注】 値の等しいものがあって平均順位を使っている場合は、この公式は正しくない。

<株価に適用>

株価にスペアマンの順位相関係数を適用したのが RCI である。

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R[x( i )] = n - i + 1 と R[P(i - 1)] についてピアソンの積率相関係数を求めることになる。
しかし、ピアソンの積率相関係数は平行移動しても値が変わらない。
だから、x( i ) = n - i と R[P(i - 1)] について R_P を計算しても同じである。

結局のところ、株価が、

P(0)=100, P(1)=110, P(2)=90, P(3)=80, P(4)=95

となっていたら、これを順位化し、

P(0)=4, P(1)=5, P(2)=2, P(3)=1, P(4)=3

とみなして、そのまま R_P を計算すれば RCI になるというだけのことである。

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順位を考える前 RP = 0.50

順位を考えた後 RS = -0.15

<ケンドールの順位相関係数>

ケンドールの順位相関係数は、３つの相関係数の中では、一番理解しやすい。

今までと同じく、x( i )、y( i ) の n個のデータがあるとする。
i = 1, 2, …, n のうちから異なる２つの値を選ぶ（選び方は、n(n-1)/2 通りある）。
選んだ番号を a、b とする。

[ケース A]
「x(a)＜x(b) かつ y(a)＜y(b)」 または 「x(a)＞x(b) かつ y(a)＞y(b)」 の場合。
すなわち、散布図上でこの２点を結ぶ線分が右上がりになっている場合。

[ケース B]
「x(a)＜x(b) かつ y(a)＞y(b)」 または 「x(a)＞x(b) かつ y(a)＜y(b)」 の場合。
すなわち、散布図上でこの２点を結ぶ線分が右下がりになっている場合。

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上の式は、各 x( i ) と 各 y( i ) に値の等しいものがない場合の定義である。
株価に適用する場合、各 x( i ) は相異なるが、y(i) には値の等しいものがあるかも知れない。
その場合を含めるには、次のようにするらしい。
P、Q は先ほどと同じに定義して、R_K を次の式で定義する。

値がすべて異なれば、P + Q = n(n-1)/2 なので、先の式に一致する。

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<日本だけ？>

RCI は、統計学の常識らしく、社会科学などでよく使われているらしい。
それを、そのまま相場に当てはめて使っているわけだろう。

Pearson、 Spearman、Kendall は、もちろん相場師ではない（Pearson と Kendall は統計学者、Spearman は心理学者）。

RCI は、テクニカル分析に関する外国の本やサイトには載っていないようである。
よく調べていないのだが、相場の世界で普及しているのは、日本だけなのかもしれない。