破産の確率


<問題> 勝つと a 円もらえ、負けると b 円失う賭がある。勝つ確率を P とする。
あなたは、現在、n 円持っている。
この賭を際限なく繰り返すとき、破産する(所持金が0以下になる)確率はいくらか。
【注】 最後に借金が残る場合もありえます。たとえば、a=15、b=10、n=10 のとき、
「勝ち(25円) → 負け(15円) → 負け(5円) → 負け(-5円)」
となれば、5円の借金をかかえて破産です。


P≦b/(a + b) のときは、「1回あたりの期待値≦0」 なので、やるだけ無駄です。
この場合、破産の確率は 「1」 。つまり、際限なくやっていれば必ず破産します。

そこで、以下では P>b/(a + b) とします。


a=b で、n/b が整数の場合、破産の確率が次のようになることは、簡単に導けます(高校数学レベル)。

n/b が整数でない場合は、上の公式で n/b の端数を切り上げて計算すればいいです。
例をあげておきます。

Aさんは、資金 200万円で株をやっている。トレード1回ごとの勝率は 60%で、勝つときは 10万円儲け、負けるときは 10万円損をする。Aさんの破産の確率はいくらか。
これは、a=b=10、n=200、P=0.6 とした状況と同じです。
よって、破産の確率は、次のようになります。
およそ 0.03%ですから、破産はなさそうですね。

もっとも、これには修正が必要かも知れません。たとえば、負けが続いて残金が 10万円になっても、まだ破産していない以上、株を続けると想定しています。しかし、10万円で買える株などなかなかないでしょう。

そこで、残金が 55万円以下になったら破産(ゲームオーバーと言う方が適切だけど)と考えることにします。
145万負けたら破産ということなので、a=b=10、n=145、P=0.6 と同じことです。
この場合の破産の確率は、次のように計算できます。n/b=14.5 ですが、端数を切り上げ、15として計算します。
およそ 0.23%ですか …。まあ、大丈夫でしょ。


というわけで、a=b の場合は簡単です。そうでないときは、どうするのか?

a と b が異なる整数の場合、数式は書き出せるのですが、高次方程式の解(それも複素数の解)を求める必要があり、実用的でありません。
簡単な近似式がないものかと少し考えてみたのですが、わかりませんでした。

そこで近所の図書館へ行き、『確率論とその応用』 という本(W・フェラー著、確率論の名著らしいです)を借りてパラパラ見てみると …。
ありました!! さすがに名著といわれるだけのことはあります(笑)


フェラーの本に出ている式に少し手を加えることで、次のように結論できます。

まず損益比 R を R=a/b で定義します。
0<x<1 の範囲における、次の方程式の解を S とします(この範囲における解は1つしかありません)。

このとき、次の評価式が成立します。
n/b と R がともに整数の場合は、右辺の等号が成立します。つまり、破産の確率=Sn/b です。

この評価式、みなさんは知ってましたか?
もっと良い評価式もあるのでしょうか。私は、知らないのですが。

なお、この評価式の証明は、数学の素養があればそれほど難しくありません。知りたい人は、フェラーの本を見てください。フェラーの 『確率論とその応用』 は、「1」 と 「2」 があり、それぞれ上巻・下巻に分かれています(つまり全4巻)。この評価式は、「1」 の下巻、461ページにある式(8・12)から導くことができます。


例をあげましょう。

Bさんは、150万円で株をやっている。トレード1回ごとの勝率は 40%だが、勝つときは 20万円儲け、負けるときは 8万円損をする。Bさんの破産の確率はいくらか。
ここでも資金に下限を設け、残金が 50万円以下になったら破産(ゲームオーバー)と考えましょう。
つまり、100万円の損すると破産ですから、n=100 と見なせばいいです。
R=20/8=2.5、P=0.4 ですから、方程式は次のようになります。
この方程式の 0<x<1 の範囲における解をパソコンで求めると x=0.738… です。
n/b=100/8=12.5 ですから、次の式が成立。
(0.738…)13.5<破産の確率≦(0.738…)12.5
関数電卓で計算すると、
0.016…<破産の確率≦0.022…
破産の確率は 1.6〜2.2%くらいですね。ちょっと危険みたいです。


さて、賭け金を一定にするのではなく、資金に対して一定の比率で賭けていく場合はどうでしょうか。
つまり、その時点の資金を A 円とするとき、一定の比率 k (0<k<1)を用いて、勝てば R×k×A 円儲け、負ければ k×A 円損するように賭けるとします。

たとえば、損益比 R(=利益÷損失)が 2 とします。k=0.1 なら、常に資金の 10%をリスクにさらします。資金 100万円なら、負けは 10万円の損、勝ちは 20万円の得となるように賭け、それに勝って資金が 120万円になれば、次は、負けは 12万円の損、勝ちは 24万円の得となるように賭けるわけです。

はじめの資金を A0 円とし、資金が B 円以下になったら破産とします。

【注】 定率の場合、破産基準の B 円の設定は不可欠です。なにも条件を課さないと、たとえば k=0.5 の場合、残金が1円でも 0.5円を賭け、それに負けると次は 0.25円を賭け、さらに負けても 0.125円賭け … と次々に小さな金額を賭けてくるので、いつまでたっても破産しません。
W 回勝って、L 回負けたとき、資金が B 円以下になって破産する条件は、次の式です。
対数をとって変形すると次のようになります。
a、b、n を次のように定義します。
そうすると、上の式は、
と同じことです。
結局、この問題は 「資金が n 円、勝つと a 円儲け、負けると b 円失うときの破産の確率は?」 と同じです。つまり、このページのはじめの <問題> に還元されるわけです。

上に書いた確率の評価式は、a、b、n が整数でなくても成立するので、それを適用すれば評価が出せます。


方程式 PxR+1 - x + 1 - P = 0 を解く必要があるので、計算ソフトを作ってみました。ちゃちなソフトですが、よかったらご自由にお使いください。ダウンロードはこちらのページからどうぞ。

パソコンを使うなら、もっと正確な値を出す方法があるのかもしれませんけどね。


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