ベルの不等式の意味



2018/8/12
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公開日 2018/8/10

ベルの不等式とは、誤解を恐れずに言えば「雨女と晴れ男が出会う確率の上限」を与える不等式のことです。

ベルの不等式

ベルの不等式は、量子力学の入門書によく出てきます。しかし、その不等式の意味は非常にわかりにくいと思います。 そこで本記事では、ベルの不等式の意味をわかりやすく解説してみようと思います。

ベルの不等式の日常的な言葉による説明

ベルの不等式は次のような不等式です。

ベルの不等式:
\begin{align*} P(A \cap B) \leqq P(A \cap W)+P(\overline{W} \cap B) \end{align*}

(「自分の知っているベルの不等式とちがう」という人は、後述の「いろいろなベルの不等式」を先に読んでください)

ベルの不等式の意味がわかりにくい理由の一つは、記号 $A$ や記号 $B$ という表現が 抽象的(ちゅうしょうてき) だからだと思います。 そこで、記号 $A$ や記号 $B$ という表現を、次のような日常的な言葉に置きかえて、ベルの不等式を説明します。

$P(A \cap B)$ は「アリスとボブが同時に外出する確率」を意味します。 $P(A \cap W)$ は「天気が晴れて、アリスが外出する確率」です。また $P(\overline{W} \cap B)$ は「天気が雨で、ボブが外出する確率」です。

ベルの不等式は日常的な言葉で表現すると、次のようになります。

「アリスとボブが同時に外出する確率」だと、あまり面白くないため「アリスとボブが出会う確率」に言いかえれないか考えてみます。「アリスとボブが出会う確率」は、どれほど高かったとしても「アリスとボブが同時に外出する確率」をこえることはありません。そのため上記の文は、次のように言いかえることができます。

これは「アリスとボブの出会う確率がどれほど高かったとしても、天気が晴れてアリスが外出する確率と、天気が雨でボブが外出する確率の和をこえることはない」という意味です。

さてここで、次のようなケースを考えてみましょう。

ベン図では次のようになります。

ベルの不等式

すると、ベルの不等式はさらにくだけた次の文章で表現できます。

ベルの不等式が成り立つ仕組みは、次のベン図で視覚的にわかると思います。

ベルの不等式のベン図

ベルの不等式に関する問題

ここで、ベルの不等式に関連する問題を出題したいと思います。

問題

下記を問題の条件とする時、アリスとボブが出会う確率の上限は何%か?

ベルの不等式に関する問題の解答

解答は25%です。その解き方を説明します。

念のため、ここで問題が期待している答えを再確認したいと思います。この問題が期待している解答は「確率」ではありません。「確率の上限」です。上限ですので「アリスとボブは、なぜか同時に外出しやすい」というケースを考えても構いませんし、「アリスとボブは、なぜか出会いやすい」というケースを考えても構いません。この問題は「アリスとボブが出会う確率をどこまで高くできるか?」という問いを出題しています。

この問題は天気で場合分けし、条件付き確率を計算します。 最初に晴れの日のケースを考えましょう。

晴れの日のケース

アリスの外出率は50%でした。そのことを次の式で表現します。

\begin{align*} P(A) = 50\% \end{align*}

アリスが外出すると75%の確率で雨が降ります。 その条件付き確率は次の式で表現できます。

\begin{align*} P(\overline{W}|A)=\frac{P(A \cap \overline{W})}{P(A)} = 75\% \end{align*}

一方、晴れる確率は50%であるため、雨が降る確率は50%となります。

\begin{align*} P(\overline{W}) = 50\% \end{align*}

したがって、雨の日にアリスが外出する確率は75%となります。

\begin{align*} P(A|\overline{W})=\frac{ P(\overline{W} \cap A)}{P(\overline{W})} = 75\% \end{align*}

このことから、晴れの日にアリスが外出する確率は25%になることが、わかります。

\begin{align*} P(A|W)=\frac{ P(W \cap A)}{P(W)} = 25\% \end{align*}

同様に、晴れの日にボブが外出する確率は75%となります。

\begin{align*} P(B|W)=\frac{ P(W \cap B)}{P(W)} = 75\% \end{align*}

アリスとボブが出会うためには、二人とも外出している必要があります。 そのため、晴れの日に、二人が出会う確率の上限は25%となります。

雨の日のケース

晴れの日と同様に考えます。

雨の日にアリスが外出する確率は75%です。

\begin{align*} P(A|\overline{W})=\frac{ P(\overline{W} \cap A)}{P(\overline{W})} = 75\% \end{align*}

一方、雨の日にボブ外出する確率は25%です。

\begin{align*} P(B|\overline{W})=\frac{ P(\overline{W} \cap B)}{P(\overline{W})} = 25\% \end{align*}

アリスとボブが出会うためには、二人とも外出している必要があります。 そのため、雨の日に、二人が出会う確率の上限は25%となります。

晴れのケースと雨のケースを合わせると…

晴れの日のケースと雨の日のケースを合わせると、二人が出会う確率の上限は25%であることがわかります。

\begin{align*} P(W)\times P(A|W)+P(\overline{W})\times P(B|\overline{W})= 25\% \end{align*}

上記の式は次のように書きかえることができます。

\begin{align*} P(A \cap W)+P(\overline{W} \cap B) = 25\% \end{align*}

つまり、この問題におけるベルの不等式の右辺は25%となります。

ベルの不等式:
\begin{align*} P(A \cap B) \leqq P(A \cap W)+P(\overline{W} \cap B) = 25\% \end{align*}

したがって「アリスとボブが出会う確率をどこまで高くできるか?」の答えは25%となります。この問題の条件を満たしているならば、いかなる手段を用いても、これ以上の確率にはできません。 この結論は、天気を晴れの日と雨の日に場合分けできるかぎり、常に正しい結論です。 しかし、おどろくべきことに、量子力学ではこの不等式の左辺が37.5%となるのです! それについて、次に説明しようと思います。

EPR相関の不思議

量子力学に基づく、次のような思考実験を考えます。

EPR相関

発射装置$C$は、観測装置$L$と観測装置$R$に対して、それぞれ電子を発射します。ただし2個の電子の角運動量の合計を0とします。

観測装置はある一つの方向について電子のスピンを測定できます。この測定結果は不思議なことに、必ず$+1/2$か$-1/2$のどちらかとなります。 量子力学によると、観測装置$L$が方向$W$で電子のスピンを測定し$+1/2$の結果を得た時、 観測装置$R$が方向$W$で電子のスピンを測定し$+1/2$の結果を得る確率は100%になります。

ここから、少し難しくなってきます。観測装置$L$は方向$A$で電子のスピンを測定します。 一方、観測装置$R$は方向$B$で電子のスピンを測定します。方向$A$と方向$B$の角度差が$\theta$の場合、観測装置$L$の方向$A$で$+1/2$だった時に、観測装置$R$の方向$B$で$+1/2$になる確率は、量子力学では次の式で計算できます。

\begin{align*} P(B|A) = \frac{ P(A \cap B)}{P(A)}= \cos^2 \left(\frac{\theta}{2} \right) \end{align*}

上記のように、観測装置の方向が角度$\theta$だけずれている場合、測定結果が一致する確率は$\cos^2 (\theta/2)$で計算できます。角度差が$0^\circ$、つまり同じ方向の時、一致率は100%です。一方、角度差が$180^\circ$、つまり逆方向を向いている場合、一致率は0%です。その中間で角度差が$90^\circ$の時、一致率はちょうど半分の50%になります。

方向$A$と方向$B$の角度差は$60^\circ$なので、確率は次のように計算できます。

\begin{align*} P(B|A) = \frac{ P(A \cap B)}{P(A)}=\cos^2 \left(\frac{60^\circ}{2} \right) = 75\% \end{align*}

$P(A)$が1/2なので、両方の結果が$+1/2$となる確率は、37.5%となります。

\begin{align*} P(A \cap B) = 37.5\% \end{align*}

次に別のケースを考えます。 観測装置$L$は方向$A$で電子のスピンを測定します。一方、 観測装置$R$は方向$W$で電子のスピンを測定します。 方向$A$と方向$W$の角度差は$120^\circ$なので、 観測装置$L$の方向$A$で$+1/2$だった時、観測装置$R$の方向$W$で$+1/2$になる確率は25%になります。

\begin{align*} P(W|A) = \frac{ P(A \cap W)}{P(A)}=\cos^2 \left(\frac{120^\circ}{2} \right) = 25\% \end{align*}

$P(A)$が1/2なので、両方の結果が$+1/2$となる確率は、12.5%となります。

\begin{align*} P(A \cap W) = 12.5\% \end{align*}

さらに別のケースを考えます。観測装置$L$は方向$W$の反対方向で電子のスピンを測定します。(Wの反対方向という意味で$\overline{W}$という記号を使います) 一方、観測装置$R$は方向$B$で電子のスピンを測定します。 方向$\overline{W}$と方向$B$の角度差は$120^\circ$なので、 観測装置$L$の方向$\overline{W}$で$+1/2$だった時、観測装置$R$の方向$B$で$+1/2$になる確率は25%になります。

\begin{align*} P(B|\overline{W}) = \frac{ P(\overline{W} \cap B)}{P(\overline{W})}=\cos^2 \left(\frac{120^\circ}{2} \right) = 25\% \end{align*}

$P(\overline{W})$が1/2なので、両方の結果が$+1/2$となる確率は、12.5%となります。

\begin{align*} P(\overline{W} \cap B) = 12.5\% \end{align*}

ここでベルの不等式を思い出すと、下記でした。

ベルの不等式:
\begin{align*} P(A \cap B) \leqq P(A \cap W)+P(\overline{W} \cap B) \end{align*}

上記の不等式の左辺は37.5%ですが、右辺の合計は25%となり、ベルの不等式を破っています。 このように観測装置$L$と観測装置$R$には、本来ありえないような不思議な相関があります。 この不思議な相関はEPR相関と呼ばれており、実際の実験で確かめられています。(例えば1982年のアスペの実験)

EPR相関の不思議さは、いったいどこから生じているのでしょうか? それは「$A$と$B$の測定結果は、測定していない$W$の結果で場合分けできない」ということだと思います。これは二重スリット実験で、左のスリットを通ったケースと右のスリットを通ったケースに場合分けできないという事実に似ています。

いろいろなベルの不等式

実は、ベルの不等式には、いくつか種類があります。それぞれのベルの不等式について説明します。

アイルランドの物理学者ベルは1964年に次の不等式を提案しました。

1964年のベルの不等式:
\begin{align*} |C(A,W)-C(W,B)| \leqq 1+C(A,B) \end{align*}

関数 $C(A,B)$ は事象 $A$ と事象 $B$ の相関の強さを意味します。 しかし、その不等式の意味は非常にわかりにくいと思います。その後、 米国の物理学者クラウザーらは1969年にベルの不等式を改良し、次の不等式を提案しました。

CHSH不等式:
\begin{align*} |C(A,B)+C(A',B)+C(A,B')-C(A',B')| \leqq 2 \end{align*}

この不等式の意味も、わかりにくいと思います。 ハンガリーの物理学者ウィグナーは1970年にベルの不等式を改良し、次の不等式を提案しました。

ウィグナー=デスパーニアの不等式:
\begin{align*} P(A+;B+) \leqq P(A+;W+)+P(W+;B+) \end{align*}

物理学者サクライは1994年に教科書「現代の量子力学」で、上記の不等式をベルの不等式として 紹介(しょうかい) しています。関数 $P(A+;B+)$ は、次のEPR実験で、観測装置$L$が方向 $A$で電子のスピンを測定した結果が$+1/2$となり、観測装置$R$が方向$B$で電子のスピンを測定した結果が$+1/2$となる確率です。

EPR実験

1964年のベルの不等式とCHSH不等式は相関の強さの不等式でしたが、この不等式は確率の不等式になっています。そのため、これまでよりも不等式の意味を理解しやすくなりました。しかし、まだ不等式の意味はわかりにくいと思います。その理由は、観測装置$L$と観測装置$R$の方向$A$,$B$,$W$が同じ方向を向いているからです。私は観測装置$L$と観測装置$R$の方向を次のように180度回転させた方が、わかりやすいと思います。なぜならば、観測装置$L$と観測装置$R$では逆の相関関係があるからです。

EPR相関

ベルの不等式は、上記のEPR実験に基づいて、次のように集合で表現した方が、不等式の意味がわかりやすいと思います。

\begin{align*} P(A \cap B) \leqq P(A \cap W)+P(\overline{W} \cap B) \end{align*}

本記事では、上記の不等式をベルの不等式として説明しました。 ベルの不等式はベン図で次のように表現できます。

ベルの不等式のベン図

上記のベン図を見れば、ベルの不等式の意味が、はっきりわかると思います。 実際、フランスの物理学者デスパーニアも1979年にベルの不等式をベン図で説明しました。

まとめ

ベルの不等式は、天気を晴れと雨に場合分けできるならば正しいです。しかし、量子力学の世界では、天気を観測しないとき、天気を晴れと雨に場合分けできないのでした。

アリスがボブと出会ったとき、二人にその日の天気をたずねたら、どのような答えが返ってくるのでしょうか? 実は、量子の世界では不思議なことに、観測しない場合、天気が晴れなのか雨なのかは不確定なままなのです。


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