気柱共鳴の物理

〜開口端補正の理論値、内部での音速など〜

細い管の開口端補正の長さは、管内での音の波長のほぼ8分の1では? 
「内径×0.6」という従来の公式には疑問があります。詳細の解説はブログにて進行中。

New! 指数減衰モードの励起のメカニズムがわかりまし た。
○ ブログを更新しました。第8回では、円筒形の管の開口端補正の長さを 考察しています。
○ 指数減衰モードの励起のメカニズムを考える必要がありそうです。
○ 太い管で生じる面白い現象について
 ○ 紹介した実験で、基本振動が測定不能だった理由は?
○ 実験データを発見。やっぱり、波長の8分の1は正しい!

2004.12.23 更新

 <概要>

  <ニュース> 2004年5月〜12月


2004.12.12
今日、本質的な進展がありました(と信じています)。
管口付近に局在する振動モード(指数減衰モード)が励起されるメカニズムがわかりました。

音波の非線形性が原因だと信じて、ここ幾晩か、膨大な計算をしていたのですが、疲れ切ってボーっとしていたら、突然思いつきました。いつもそうなのです が、気付いてみれば当たり前のことで、(私は)こんなこともわかっていなかったとは、という思いです。非線形性の効果は小さくて事実上関係ありません。 もっと重要な線形の効果を見落としていました。それを説明します。

これまで考えてきた管内の振動モード(2つある正弦波モードと無数にある指数減衰モード)は管内では互いに直交しています。もう少し正確に言うと、管内の音波のエ ネルギーは、各モードだけがあるときのエネルギーの単純和になっています。

さて、これらのモードのそれぞれは、管外へと自然に延長できます。そうやって、管外と管内を合わせた空間全体での各モードの表式が(原理的には)得られま す。これらはもちろん互いに線形独立です。

ところが、空間全体での音波のエネルギーは、これらのモード の振幅の2乗の単純和ではありません。(専門的に言えば、空 間全体でのエネルギーを表す2次形式は、これらのモードを基底として表したときに非対角要素をもちます)。つまり、各モードは時間発展させると必然的に 混じり合うことになります。

これが、最初に正弦波モードだけで出発しても、のちには指数減衰モードが生じてくる理由です。

もちろん、こうした混じり合いは、開口があるために生じてきます。管内の各モードを管外へと延長して、互いの重なり具合を計算すれば、非対角要素がわかる はずです。延長はグリーンの定理を使えば近似的にできると思うので、これから取り組んでみます。

この非対角要素は、内と外をつなぐ量ですから、その計算は付加質量(一緒に動いている余分の空気の質量)を計算するのに似た作業です。ヘルムホルツ共鳴器 (穴の空いた瓶)の筒の開端補正とか、粘性を無視して半無限円筒管の開口端補正を計算したレビン&シュヴィンガーの仕事(下記)は要するにこれをやってい たのですね。

私は、管内での粘性によるエネルギー散逸に気をとられて、管口のそばの管外での空気の運動の詳細を調べることは重要でないと思いこんでいました。

開口端補正を決める上では、実際には両方ともが重要であると思われます。粘性係数や波長、管口の大きさなどによって、付加質量の効果が効く場合もあれば、 粘性が重要になる場合もあるでしょう。いいかえれば、従来の公式がほぼ正しい場合と、そうでない場合があるでしょう。具体的な計算結果が出たら、またご報 告します。


2004.12.5

非線形性などに起因する指数減衰モードの励起スピードの計算は爆発しました。管壁の近くで渦巻く速度場の勾配を細かいところまで考える必要 があることがわかり、途中ですがちょっと一服です。
気力の回復のために、以下の11月7日のところに書いた、エネルギー一定の条件を使ったおおまかな議論を詰めてみました。

ちょっと復習します。
仮説によれば、管内の空気の振動は、2つある正弦波モード(サインモードとコサインモード)や無数にある指数減衰モードを、空気の粘性による管壁での摩擦 熱の発生を最小にするような重みで重ね合わせたものです。サインモードとコサインモードの重みの比率が開口端補正に対応しています。

指数減衰モードの振動が全く励起されないなら、開口端補正の長さはλ/8になります。

逆に、無数にある指数減衰モードの全てが何の制限も受けずに励起可能なら、開口端補正は、λ/8より短くなり

   λ/8 ー (x1 + x2 + x3 + …)

となります。ここで x1 は、第1番目の指数減衰モードだけが励起可能な場合の開口端補正のλ/8からのずれで、x2、…なども同様です。ところがこの表式には発散してしまうとい う問題があり、これを解決して有限の理論値を得ることが目下の課題です。

発散の原因は、指数減衰モードが励起されるメカニズムをちゃんと考えていないからだと思われます。いずれは、流体力学の基礎方程式から出発して答を出して みたいのですが、上で述べたようにそれがまだできないので、考えの大筋が正しいことを確認するために、おおまかな議論を行ってみました。

摩擦熱の発生を最小にする各モードの重みを求める際に、無条件に最小値を求めるのではなく、指数減衰モードのエネルギーの総和が一定という条件の下で最小 値を求めてみます。これはラグランジェの未定乗数法で扱えそうな問題です。しかし、本当のエネルギーの表式を使うと解析的な計算がまたまた爆発します。そ こで、ちょっといじった表式(擬エネルギーと呼びます)が一定という条件の下で計算してみました。(擬エネルギーは、管内全体ではなく、管壁付近だけのエ ネルギーです。)

その結果、エネルギー拘束が強いためにラグランジェの未定乗数の値がほとんどの指数減衰モードが眠る領域にあるときには、開口端補正はほぼλ/8である が、エネルギー拘束が弱まって未定乗数の値が指数減衰モードが励起可能な領域へと移動するにつれ、開口端補正の値はλ/8から離れて小さくなることがわか りました。つまり、予想は定性的には間違っていないようです。

理論値を得るには未定乗数の値が要ります。それにはやはり、励起のメカニズムをちゃんと考えなければなりません。


2004.12.1
ここ数日、気柱内の空気の振動が最終的にたどり着く定常的な振動の状態を、流体力学で計算しようとしています。正弦波モードの振幅は外力な どによって一定に保たれるが、その腹の位置は(ゆっくりと)移動できるという条件をおいています。

線形の部分(粘性項を含む)だけを取り出した方程式の(無限個の)解を基底にとり、非線形な項を摂動とみて、量子論での時間に依存する摂動論のような計算 をやろうとしています。

覚悟を決めてがんばれば半日くらいでできそうなのですが、ハミルトニアンから出発できないので見通しが悪くて、なかなかやり遂げられずにいます。

流体力学の運動方程式と連続の式って、ラグランジアンかハミルトニアンから変分原理で導出したりはできないのでしょうか。
方程式の各係数は時間によらないので、(粘性項を落とせば)保存系に思えます。ということは、ハミルトニアンを書き下せてもよさそうなものですが…。どな たかご存じありませんか?

少し考えてみたのですが、わかりませんでした。簡単のため状態方程式を p = c2 ρ とすると

連続の式は    ∂ ρ = ー ∇・G  (ただし G = ρv)
運動量保存の式は ∂ G = ー ∇ (c ρ)  + 非線形項 (+ 粘性項)

となり、ρ場の勾配の方向に力が働くという、直観的にわかりやすい、きれいな形ではありますが、正準形式とは少し違っています。補助場とかを導入すれば正 準形式にできるのだろうか…。

2004.11.7
Web上で見られる開口端補正の実験値(といってもあまり数はないのですが…)にはおおむね、次のような傾向があるようです。
 ・断面が20センチなどの巨大な管(下記)では、開口端補正はほぼ波長の8分の1である
 ・断面が数センチの細い管では、開口端補正は波長の8分の1より一桁小さい
 ・細くてもリコーダーのような管では、開口端補正は大きくなる
これをどう説明すればよいのか。

ここでご紹介している仮説では、開口端補正の長さΔは、λを波長、aを管の太さとして

   Δ = λ/8 − (A + B (a/λ)2 + C (a/λ)4 + …)× a

のように表されます。A, B, Cは数係数です(ブログ参照)。細い管では上の式は、ほぼ

   Δ = λ/8 − A × a

で近似できます。

ここで、係数Aは、管口付近でどの程度、指数減衰モードの振動が励起さ れているか、によって変わってきます
指数減衰モードがほとんど励起されていなければ係数Aの値は小さく、したがって開口端補正はほぼλ/8です。一方、
指数減衰モードがよく励起されていれば係数Aの値は大きく、したがって開口端補正はλ/8より短くなります。

これをもとに、実験値の傾向を解釈してみます。
まず、巨大な20センチの太い管で開口端補正がほぼλ/8であったのは、指数減衰モードがほとんど励起されていなかったからでしょう。
では、なぜ、指数減衰モードが励起されないのか。
それは、太い管の内側の表面積が体積にくらべて小さいからだと思われます。管壁のそばでは、音源に直接励起される正弦波モードの振動を指数減衰モードに変 換するメカニズム(空気の運動方程式の非線形性など)が働きますが、その効果は内壁の面積に比例するので、管が太いと、体積にくらべて相対的にその効果は 小さくなるのでしょう。

断面が数センチの管で開口端補正がλ/8より小さくなるのは、表面積の割合が増えるので指数減衰モードが励起されやすくなるからだと思われます。

では、とても細いリコーダーでふたたび開口端補正が大きくなる(ように思われる)のはなぜなのか。
ちょっと予想がすぎるかも知れませんが、いま考えていることをお話しします。細い管で開口端補正が小さい実験結果を与えているものは、すべて、薄いガラス 管で実験しているものなのです。もしかすると、管自体が振動して、それが直接、指数減衰モードを励起しているのではないでしょうか。そうならば、薄いガラ スの管では開口端補正が短くなって当たり前です。逆にリコーダーのようにぶ厚くて「重い」管では、そのような管の振動による励起の効果は小さいので、開口 端補正は長いままでしょう。

というわけで、指数減衰モードの励起の度合い(係数A)を決める方法と理論計算にしばらく注意を集中してみるつもりです。単純化したこの前の計算でも相当 大変だったので、始めるにはちょっと気合いが必要ですが…。
もしかすると、管自体の振動を考える必要が出てくるかも知れませんが、とりあえずは、そのような外部の環境要因を排除して、空気自体の性質だけから言える ことを考察してみようと思います。

実験結果のご報告の方も、引き続き首を長くしてお待ちしております。

2004.10.22
気柱内の定常波には、奥まで届くおなじみの正弦波のモードに加えて、管口付近に局在するモード(指数減衰モード)が無数にあり、(私の考え では)後者が開口端補正の現象に重要な役割を果たしています。今日は、実験で容易に確認できる、これらのモードに関連した、太い管でお きる面白い現象についてお話しします。

波長に較べて細いふつうの管では、軸方向(管の軸に沿った方向)に進む波だけが正弦波で、管壁で反射しながら進む波はすべ て、管口から奥に入るにつれて急 激に減衰します(指数減衰モード)。

ところが、太い管(波長に較べてそれほど細くない管)では、軸方向に進む波に加えて、ゆるやかな角度で反射しながら進む波も、(波長のもっと長い)正弦波 になります。

つまり、ふつうは、正弦波のモードは1つで、残りのモードはすべて指数減衰モードなのですが、波長に較べてあまり細くない管では、最初の指数減衰モード (減衰率のもっとも小さいもの)が正弦波モードに化けて、正弦波モードが通 常のものとあわせて、2つ存在するという面白いことがおこり ます。

以上のことを定量的に考察してみます。例えば、一辺が無限に長い長方形の断面をもつ管では、軸方向の波長(軸方向に進んだときの波の山と山の距離)λLと 断面に沿った方向の波長λTの間には、(λをc=fλで決まる音の波長として)

   1/λ2 = 1/λL2 + 1/λT2    (*)

の関係があります(ブログ第6回参照)。

断面の長方形の短い方の辺の長さをaとし、定常波の振幅の、その辺に沿った方向の変化を考えてみます。

向かい合った長い方の辺がともに定常波の腹になり(自由端)、間に節と腹が交互に並びます。つまり、腹(管壁のところ)、節、腹、節、腹、 節、…腹、節、腹(管壁のところ)と並びます。節の数をnとして、その方向の波長は

   λT = 2 a/n (n=0, 1, 2, 3, …)

となります(n=0の場合はλT=∞と考えます)

n=0の振動モードの場合、軸方向の波長λLとλは同じです。これが軸に沿って進むふつうの正弦波モードに対応します。

nが1以上の振動モードの場合、普通の細い管では幅aが小さいので、λTも小さく、(*)を満たす波長λLは 存在しませ ん(λLが純虚数になってしまいます)。これは指数減衰モードに対応しています。

ところが管が太いと、n=0だけでなく、n=1に対しても(*)を満たす波長λLが存在する場合があります。そうなるような幅aに ついての条件は

   λ < λT = 2 a  すなわち  λ/2 < a

です。つまり、波長の半分より幅が広い「管」では、通常より軸方向の波 長が長い正弦波モード、が追加で生じるのです。こ こでは、一辺が無限に長い長方形の断面をもつ管を考えましたが、有限の長方形や円形の管でも、定性的な話は同じです。

第2の正弦波モードの存在は、次のような実験で確認することができるはずです。
両端が開いた長い管を用意して、一方の端から音波を送り、他方の端に届く音波の強度をマイクなどで拾って測定します。音源は、振動数が変えられるとしま す。はじめ振動数を十分小さな値にしておくと、波長は管の幅より大きいので、他端まで届く正弦波のモードは通常のものだけで1つです。だんだんと振動数を 大きくしていくと、波長は短くなり、波長がおよそ管の幅の2倍より短くなるあたりで、第2の正弦波モードが他端まで届くようになり、音の強度が突然大きく なるでしょう。最初の指数減衰モードがだんだん奥まで届くようになって、ついに正弦波モードに化けるためです。

P.S. Web上の実験データをいろいろ見ていると、波長に較べて十分に細い管と思われる場合であっても、開口端補正が1cmに満たないデータも報告されているよ うです。もしかすると管の固定の仕方などの外部の環境要因が、開口端補正の長さにかなり影響するのかも知れません。ここで紹介している仮説があっているの かどうか、確信がもてないでいます。仮説を裏付ける、あるいは否定する、の いずれであるかを問わず、実験結果のご報告を引き続きお待ちしております。

2004.10.19
先日ご紹介した実験(下記)の記事では、基本振動が測定不能だった、 と書かれています。なぜ測定不能だったのか、その理由を考えてみました。

基本振動というのは、開口部から水面までの長さが波長の4分の1である正弦波の振動モードです。もし、ここで紹介しているように、開口端補正が8分の1波 長にも達するとしたら、基本振動の振動数は大幅に変わって予想より低くなったでしょう。スピーカーの振動数を変えながら予測した振動数領域をいくら調べて も、めだった共鳴のピークはなくて、実際にはもっと低い振動数のところで基本振動が生じていたのではないでしょうか。

たとえば、開口端補正が仮に10cmなら、管長は80cmゆえ、基本振動の波長は(10+80)×4 cm=360cmですが、ここで紹介しているように、もし開口端補正がλ/8ならば

   80cm + λ/8 = λ/4  ∴ λ = 640 cm

と、基本振動の波長は予想の640÷360≒1.8と、2倍に近くになるのです。波長が2倍なら振動数は半分。つまり、本当の共鳴は、予想の半分の振動数のところにあったことになります。こ れでは見つからなくて当然ですね。


2004.9.29
啓林館の「ユーザーの広場」の中のペー ジに、片側が開いた20cm×20cm×80cmの直方体(断面が正方形です)の気柱内に、マイクロホンを入れ、位置による音の強度の変化を直 接、パソコン(PC9801、懐かしい)の画面に表示して、定常波の腹や節を読みとる実験が載っていました。出典は1990年の「物理教育」という雑誌に 高校の先生が投稿された記事だったので、図書館で探してデータを検討しました。

雑誌の記事から節や腹の位置を肉眼で読みとり、それを直線でフィットして、管内の波長と開口端補正の長さを求めたのが下の表です(誤差は0.5 cm 程度です)。

振動モード
振動数  
管内の波長 λ
開口端補正 Δ
Δ/λ    
3倍振動
321 Hz
128 cm
16.2 cm
0.127
5倍振動
534 Hz 69.8 cm
7.65 cm
0.110
7倍振動
743 Hz 48.6 cm
5.9 cm
0.121

(基本振動は、なんらかの別の共鳴がおきたためか、測定不能だったようです)

表の一番右の欄、Δ/λの値を、管が無限に細い場合の理論値 1/8 = 0.125 と較べると、ほぼ一致していることがわかります。(「管の太さの、波長に対する比率」が大きくなると、開口端補正の長さが減るという予想も、傾向としては あたっているように思われます。)管壁でのまさつによるエネルギー損失を最小にするように、定常波の形と開口端補正の長さが決まる、という仮説は、少なく とも定性的には正しいと考えてよいのではないでしょうか。

一方、従来の「内径×0.6」などの公式が正しいならば、開口端補正はほぼ一定になるはずです。しかし、上のデータでは全くそうはなっていません。

この実験では、発振器の振動数は変えられるのですが、管長が80 cmに固定されているので、3つしか検討できるデータがありませんでした。通常の実験のように、水面などを動かすことで管長を変えれば、さらに豊富なデー タが得られ、ここでの理論が正しいかどうかが判定できるはずです。ぜひ、実験して確かめてみて下さい。実験結果のご報告をお待ちしております。

上の実験データについてはさらに詳細に検討して、ブログで報告するつもりです。

2004.9.26
図書館で「楽器の物理学」(N.H.フレッチャー・T.D.ロッシング 著、岸憲史・久保田秀美・吉川茂 訳、シュプリンガー フェアラーク東京)という本を見つけました。

弦楽器や管楽器の物理について詳細な解説があり、特に、開端補正に関係のあるこれまでの研究が概説され、参考 文献も豊富に載っていました。レイリー散乱(空の青さに関係)のレイリーや、量子電磁力学のくりこみ理論のシュヴィンガーが、この分野で論文を残していた ことにちょっと感動 しました。

これらの論文を直接みていないので私の誤解の可能性もありますが、この本での「開端補正」というのはどうも、付加質量(一緒に動いている外部の空気の質 量)から定義されるようです。気柱共鳴の実験でわかる開口端補正は、管内に生じる定常波のさまざまなモードのうちで、正弦波のモードの腹の位置が開端から 外にずれる距離のことなので、この本の「開端補正」とは違う概念だと思います。(この理解でよいのか、ちょっと自信なし。どなたか、わかります?)

とはいえ、振動と波動の古典物理の本として面白く、古くからの文献も充実しているので一読の価値があると思います。なぜか音楽のコーナーにあったのです が、誰が見ても物理数学の本です (笑)。目次のうち、 目にとまったものを紹介します。

第8章 パイプとホーン
 8.1 無限に長い円筒パイプ
 8.2 筒の内壁での損失
 8.3 有限長の円筒パイプ
 8.4 パイプからの音の放射
 8.5 インピーダンス曲線
第15章 リード木管楽器
 15.2 指穴
第16章 フルートとフルー・オルガンパイプ
 16.1 空気ジェットの力学
 16.10 リコーダ
 16.11 フルート

2004.9.7
このページを以前に見て下さった方、ごめんなさい。予定よりずいぶん遅れて9月になってしまいました。

2004.5.28
管が細い場合の理論値(内部での波長の8分の1)が正しいかどうか、実験で確認して下さる方がいらしたら、とてもうれしいです。

内部での波長は、振動数と 内部での音速を直接測定して求めるのが一番確実ですが、外部での音速、振動数と管の断面の形がわかれば、大体の値を理論的に計算することもできます。よろ しくお願いします。

この結果に何らかのオリジナリティーがあるのかどうかも、ご存じでしたらぜひ教えて下さい。いま、あまり時間がとれないのですが、6月 の下旬ごろにはちゃんとした説明を書ければと思っています。

  <ブログでの解説> 現在、第8回まで進行中。

→ブログのトップ ページ

2004.5.28〜
Wave of sound