グラスマンの外積代数の研究と
     理工学解析への応用
  

          
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1.トップページ:
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1.目次概要、 2.本文概要、 3.詳細目次

1の目次概要について: 各章単位で表示するにはそれぞれの章をクリック、全体をまとめて表示するにはこのBook3HP[6,300KB]pdf をクリックする。

3の詳細目次に関して:: このページにて本書の扱っているテーマーの全体像を知る上で役立つと考えている。

なお独立した目次は下記の「03目次」をクリックすると得られる。

2.サブページA関連図書の紹介  (ここをクリック)

題名「新しい数学表現による理工学解析ーグラスマンの点外積と動標構によるー」

グラスマンの外積代数の詳細な解説と多数の応用事例があり、本書を補完するものである。グラスマンの点外積の応用の実務書である

3.サブページB本研究での成果一覧 (ここをクリック)

本書のグラスマンの外積代数の研究および応用研究の結果として得られた成果や発見をここに集約したものである。

見出し的な表現で一覧表にまとめてあるので関心のあるものや関係のある分野を本文から選択するのに役立つと考えている。

4.サブページC本研究の思想的背景 (ここをクリック)

 

という本源的(primitive)原素を起点として論理的で強力な数学体系を新たに確立した。それを実現させる推進力となったその思想の一端を開示する。

1.目次概要

01 表題    [57KB] pdf

02 序文    [174KB] pdf

03 目次    [186KB] pdf

04 まえがき {354KB] pdf

   1.目的 2.概要 3.G-H代数(下記本文の概要に説明あり)とExterior Algebraの比較

11 Part 1 基本関係式 [1,242KB] pdf

グラスマンのA2(下記本文の概要に説明あり)の中の主要な基本事項を抽出し、機能で分類する。それらを現代的な記号化、現代的な解釈と証明で新しい数学体系の確立。
(注:日本文のみを一つのファイルとして表示するには JEH-11-Part 1 [1000KB]pdfをクリック)

21 Part 2 派生的関係式 [579KB] pdf

基本事項からの派生的な関係式を展開する。

31 Part 3 理工学問題への応用

3・1  力学への応用    [1,026KB] pdf

    一般力学、機構学とロボテックスへの応用も各一件含む

3・2  特殊相対論とその応用 [723KB]  pdf

3・3  電磁気学とその応用   [1,617KB] pdf

3・4  重力場理論とその応用 [1,383KB] pdf

3・5  数学への応用 [560KB] pdf

       現代微分幾何との関連を見る

3・6  参考文献   [120KB] pdf

2.本文の概要

本書はHermann Grassmann が1862年に世に出した外積代数の研究論文”Die Ausdehnungslehre"(Extension Theory英訳書名)に関する研究とその理工学分野への応用研究書である。

本書の目的とするところは次のように要約できる。

第一に Ausdehnungslehreの中で展開されている概念、公理、および定理を厳密かつ忠実に解釈すること。

第二にこれらの対象の用語、記号を現代的な表現に書き換えて、それらの新しい表現で新しい数学体系を確立すること。

第三にその結果を十分に広く高度に発展した現代の理工学問題の解析に応用することでその有用性、効果性、重要性を評価すること

その結果得られた注目に値する事項としては主なものは次のように要約できる。

1)概念としては:外積代数で中心的な役割を果たす重要な三つの概念がある。

  a)  点

  b)  点同志の外積

  c)  動標構

2) 体系としては:微分幾何にとっての基礎的なものとして

  a)  点外積幾何、代数

  b)  射影幾何

  c)  アフィン幾何

  d)  主ファイバーバンドル

3) 応用 面ではこれまで活用されずに Ausdehnungslehreの中に埋もれていた定理や公理の活用によって理工学の広い分野のさまざまな問題を深く掘り下げた解析が可能になった。特に輻輳した問題であれば特に有効に機能する。

(1) この Ausdehnungslehreに関して

Ausdehnungslehreは1844年Hermann Günther Grassmann により書かれたものであり、当時は難解なため一部の数学者以外には受け入れられなかった。難解な理由は、哲学的な表現を用いていたためであろうといわれている。1862年に全面的に書き直されて第二版が出版された。

後に前者はA1と呼ばれ、後者はA2と呼ばれている。

本書の研究はA2を対象にしたものであるが、この研究のために使用したものはオリジナルのA2ではなく、Lloyd C. Kannenberg により英語に翻訳された”Extension Theory" (2000年 American Mathematical Society より)として出版された本を基にしている。

A2は数学的観点からは多くの研究者により研究されてきたが、理工学問題への応用という観点からはほとんど研究されていないように見受けられる。A2の核心部分である肝心の点外積の定理や公理が理工学問題解析には全く応用されていないことからしてこのように判断される。

現状では理工学問題の解析道具としてはHamilton,Gibbs&Heaviside (G-Hと略す)等によるベクトル解析、RicciLevi-Civita等によるテンソル解析やElie Cartanによる微分形式を使った外積代数が主なものであるが、いずれもGrassmannA2の影響を受けて発展したものであることは疑う余地がない。しかしA2の核心部分である点外積の観点からはGrassmannA2の応用とはいえない。”Grassmannの外積代数”の呼び名で呼ばれているものもあるがA2の核心部分である点外積は取り込まれていない。

動標構についても上記と同様の状況であった。いわゆる動標構の方法と呼ばれる手法は、最初はDarbouxによって導入され、Cartanにより完成されたとされている。しかし、その動標構の概念と表現はすでにA2の中に見出されている。この事実に関しては今日まで誰も触れていない。その理由はまとまった体系として動標構の名で呼ばれていなかったこととその概念が強調されなかったことによると考える。

(2)工学問題への応用に関して

本来のGrassmannの外積代数そのものが理工学分野の主流になれなかった原因はさまざまに指摘されているが、私はその大きな要因としてA2における記号や表現は理工学解析に使用するには適した便利な表現方法ではなかったことにあると考える。

それは、Grassmannが最初に新しい数学理論体系を確立するために新しい概念に対して用語と記号を創造しながら開拓していったことによると考える。

一方、G-Hベクトル解析はマスターすることは容易であるが解析の道具としては数学的力量が不足しており、数学的欠陥も指摘されている。また、数学理論としてのテンソル解析や微分形式による外積代数はそれぞれを数学理論としてマスターするには多大の時間と労力を必要とする。さらに、それを理工学問題への応用となるとそれなりの応用技術の習得も必要になる。

数学的にはもっと簡潔で習得が容易で応用上は直接的で使いやすい数学道具を求めていくならば誰でもこのGrassmannの”Ausdehnungslehre”(A2)のこの厳密な数学理論に必ずや到達するであろう。

Grassmannの用いた記号、表現、解釈はそのままでは現在の理工学問題に適用するには不便がある。それらのさまざまな概念も現代の数学概念や解釈を取り入れることで簡潔で使いやす表現になる。

本書ではこのような観点からA2の理論に自然科学や工学へ使いやすい表現を導入し、具体的な応用を展開してその有効性を明らかにすることを目指している。

そのことで他の数学理論を排除することなく、むしろテンソル解析や微分形式による外積の概念も容易に導入でき、これらを併用することでそれぞれの持ち味を生かした応用ができ、その結果テンソル解析や微分形式による外積代数の適用分野をカバーするのみならず、これまで適用できなかった分野までも含めた広い分野への適応性を持つことができる。

本書での応用分野としては数学、力学、制御、機構学、特殊相対論、電磁気学、重力場理論をとりあげている。さらに他の広い分野への応用も可能であるが本書では収納していない。

(3)本書の特徴

本書の特徴は、在来の理工学理論を新しい記号で単純に書き換えたものではなく、Grassmannの導入した新しい数学的概念で新たに理論構築を行って得た結果であり、それらの結果を現代数学で得られている成果と比較し確認しながら進めている。

特に注目すべき成果は、主なものとして次のものがある。いずれもGrassmannの外積代数を十分に活用して初めて得られた成果である。

()全惑星を対象にした地磁気発生機構の解明と定量的な解析。

(2)新しい重力場理論として重力磁場理論の確立と、その検証:光の湾曲、水星の近日点前進,測地線歳差

(3)新ニュートン力学としての新ニュートン運動方程式の確立。その検証は(2)と同じである

(4)新ニュートン運動方程式を用いて、シュワルツシルト半径が容易に求められ、ブラックホールの存在を予想させる結果を得ている

(5)さらにA2の中の定理の一つである「Regressive product](共役外積)の解釈について:今日までこの定理は正しく理解されずに来た。ましてやその応用事例はない。本書ではグラスマンの意図するところを忠実に解釈して、その応用事例を電磁気学の中で明示し、この定理が有用なものとした。これはあくまでグラスマンのA2を忠実に解釈すことを重視した成果である。

. 詳細目次

01 表題

02 序文

03 目次

04 まえがき

     1.目的 2.概要 3.G-H代数とExterior Algebraの比較

Part 1 目次

 1-1 点、動標構、ベクトル、射影空間

 1-2 変換

 1-3 点外積、1次独立と1次従属、束縛ベクトル、点外積の和&差、単体

 1-4 Plücker 座標

 1-5 共役ベクトル(*印作用素)、内積、Regressive Product(共役点外積) の思想と応用

 1-6 点外積の微分

 1-7 微分方程式の積分(位相力学:半群と発展方程式)

Part 2 目次

 2-1 2ベクトルのマトリックス表現

  2-1.1 基底が同じ2ベクトル

  2-1.2 基底が異なる2ベクトル

  2-1.3  3ベクトルの行列表現

 2-2 動標構の微分

  2-2.1  動標構の微分

  2-2.2  変換行列の微分の計算の容易化要領

 2-3 点外積の微分

  2-3.1  Pの微分

  2-3.2  1ベクトルu の微分

  2-3.3  点外積Puの微分

  2-3.4  2ベクトルuv の微分

 2-4 微分形式の外積

  2-4.1  微分形式

  2-4.2  微分形式の外積

  2-4.3  微分形式の外積と外微分

 2-5 点外積の積分

  2-5.1  1ベクトルの点外積の積分

  2-5.2  2ベクトルの点外積の積分

 2-6 境界微分

Part 3 目次

 3-1 力学への応用

  3-1.1  運動方程式の定式化

  3-1.2  各運動方程式の展開

  3-1.3  質点の運動事例

  3-1.4  単振子

  3-1.5  剛体力学事例:コマの運動

  3-1.6  2リンク平面マニピュレータ

  3-1.7  機構学への応用:カム輪郭と運動解析

 3-2 特殊相対論とその応用

  3-2.1  3次元物理量から4次元物理量への拡張要領

  3-2.2  ミンコフスキー空間(静止)からミンコフスキー空間(動)

  3-2.3  電磁場のローレンツ変換

  3-2.4  4次元時空での運動方程式

 3-3 電磁気学とその応用

  3-3.1  マクスウェルの場の方程式

  3-3.2  場の強さ

  3-3.3  マクスウェル方程式

  3-3.4  電荷の保存法則

  3-3.5  gauge 変換とLorenz gauge 条件

  3-3.6 不変量

  3-3.7 エネルギー・運動量テンソル・保存法則

  3-3.8 電磁場内の荷電粒子の運動方程式(Plasma

 位相力学への応用として

  3-3.9  地磁気の発生機構(全惑星の)

 3-4 重力場理論への応用とその検証

  3-4.1  電磁場での荷電粒子の運動方程式

  3-4.2  重力場における質量粒子(物質粒子)の運動方程式

 重力場理論の検証

  3-4.3  重力場における光の軌道の湾曲

  3-4.4  水星の近日点前進

  3-4.5  シュワルツシルト半径とブラックホール

  3-4.6  重力場での運動方程式の一般化(ポストニュートン力学)

  3-4.7  重力磁場の検証ー人工衛星上のジャイロスコープ歳差運動

   3-4.8 場のローレンツ変換の検証
  3-4.9 渦巻銀河の運動解析
   3-4.10 場のローレンツ変換の検証(その2)

 3-5 数学への応用

  3-5.1  動標構・点外積と主ファイバーバンドル

   (1) ファイバーバンドル一般

   (2) 主ファイバーバンドルと動標構の比較

  3-5.2  接続・曲率・捩率:微分形式による場合

  3-5.3  接続・曲率・捩率:ベクトル場による場合

   (1) 曲線座標の共変微分:

   (2) スカラー関数の共変微分

   (3) ベクトルの共変微分

   (4) テンソルの共変微分

   (5) ベクトルの発散

   (6) ベクトルの回転

  3-5.4  曲率テンソル

  (1) 共変ベクトルの曲率

  (2) 反変ベクトルの曲率

  (3) 曲率テンソルの共変微分

 
3-6 参考文献

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