20130115Fuji1

エクセルのグラフで学ぶ気象学0017


片対数グラフを描く

 指数関数や対数関数が含まれるグラフは、直線座標の上に描くと曲線となるが、片対数座標の上に描くと直線で表され、その関係が明瞭となる。ところで、指数関数と対数関数とは逆関数の関係にある。すなわち、の指数関数は次のようにに表される。

Exponential.jpg"

の対数関数は次のようにに表される。

Lnx.jpg"

の指数関数の両辺の対数を取ると、

Logarithm.jpg"

となる。以上の式の関係から、指数関数と対数関数とは逆関数の関係にあることが分かる。ここで、

Lne.jpg"

である。

 指数関数の例として、高度と気圧の関係式のグラフをエクセルで描いてみよう。気圧は、高度が上昇すると減少するが、その関係は、近似的に次の式で表される。
E-Fig0120.jpg"

 ここで、E-Fig0121.jpg"E-Fig0122.jpg" と置く。また、実際には気温も高度とともに変化するが、ここでは地上から高度50 kmまでの平均気温を250 Kとし、その間この値で一定であるとする。

 ここで、求めるものはPzの関係を示すグラフであるが、Pの値を計算するには、上の式の逆関数を使う。それは、
E-Fig0123.jpg"

であり、式を変形して定数を代入すると、
E-Fig0124.jpg"

となる。これをエクセルで数値計算する。まず、A1セルに説明変数の表題を、B1セルに目的変数の表題を書き込む。次に、A列にkm単位の高度を、2kmごとにオートフィル機能を用いて書き入れる。続いて、B2セルに=1013*EXP(-0.0342/250*A2*1000)と書き込み、下にコピーする。

E-Fig0125.jpg"

 エクセルの、自然対数の底eを底とする数値のべき乗を計算する指数関数はEXP()である。A2*1000としているのは、定数aの単位がmであるのに、説明変数zの単位をkmとしたからである。

E-Fig0126.jpg"

 描かれたグラフは、いわゆる指数関数的に0に漸近して減少するグラフである。このグラフは、途中で大きく湾曲している。

 このグラフを高度の軸を対数軸とする片対数グラフに変換してみよう。

 グラフの縦軸の部分をポイントしてマウスクリックし、軸の書式設定の選択ボックスを開く。その中の軸のオプションウインドウを選択し、対数目盛表示する(L)のチェックボックスをチェックする。

E-Fig0127.jpg"

 すると、これまで湾曲していたグラフは、瞬時に以下に示すような直線のグラフに変化する。

E-Fig0128.jpg"

 指数関数のグラフは、片対数グラフでは直線となる。


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