すうらくゆう(読者の広場) ; 「すうらく」とは 数楽、「ゆう」とは、You、友、遊の意。

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問題の解答や感想等をお寄せください。すうらくゆう(読者の広場)へ掲載させていただきます。


問題29

 DEの長さが分かると緑の

 正方形の大きさがわかる。

 AC=1、CB=1/2とします。

 さて、この正方形は・・・?

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問題28

円周上に任意の三点をとる時、鋭角三角形になる確率を求めよ。

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問題27
問題 折り紙を下図のように折ったとき、

点P(p,1)のときQ,Rを求めよ。

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問題26
『円に外接する平行四辺形はひし形であることを証明しなさい。』

(北海道 /ニックネーム:広大院生出題)

出題者のコメントです。「これは『円の中心と平行四辺形の2本の対角線の交 点が一致するから当たり前だ』と考えていました。しかし、円の中心と 平行四辺形の2本の対角線の交点が一致することを証明しようとする となかなか証明できませんでした。久しぶりに真剣に考えた問題です。」

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問題25

「作図問題」
長さa、b、1(単位長)の3本の線分が与えられています。 次の長さをもった線分を、直線定規とコンパスだけを使って作図してください。 1、a+b
2、b−a
3、axb
4、a÷b
5、√b
ただし、a<1<b としましょう。

(=茨城Akiさん出題))

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問題24

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問題21 YくんとCくんが、じゃんけんをしました。
Yくんは、6回勝ちました。
Cくんは、5回勝ちました。
Yくんは、グ−を5回出したといいました。
Cくんも、グ−を5回出したといいました。
そして、グ−を出して勝ったケースは5回ありました。
チョキを出して勝った数の多いのは、どっち?

1、Yくん
2、Cくん
3、そんなのわかるわけない    (=あっこさん出題)

問題22 マッチ棒4本で漢字の「田」の字を作ってください。 簡単かな? (=Craneさん出題)

問題23 10人の悪魔が車座になっています。 順に「あなたの右隣の悪魔は正直か、うそつきか?」と聞いてまわったところ すべての悪魔が、「彼はうそつきだ」と答えました。 さて、うそつきは何人? 1、10人 2、9人 3、5人 答えは何番でしょう? (=あっこさん出題)

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問題20. 大きなコインと小さなコインがあります。 大きなコインの直径は、小さなコインのちょうど2倍あります。 さて、大きなコインは動かないように固定しておいて、 小さなコインを大きなコインにぴったりくっつけたまま まわりを一周させたら、小さなコインは何回転するでしょう?(あっこさん出題)

この問題を考えるためのヒントは、半径の等しい円(100円玉2個で)で実験して見て下さい。何回転するでしょうか? そんなの1回転に決まっていると思う方は是非、本当にそうなのかをお確かめください。

上の問題で内接している場合ではいかがでしょうか? 実験してください。

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問題19(00/07/05航海日誌より)
良いおじいさんと、悪いおじいさんが住んでいました。
一枚の正方形の紙がありました。
良いおじいさんは、この紙の四隅から10cmのところで、
45°の角度にハサミを入れました。
中央に小さな正方形が残りました。
ところが、良いおじいさんは、ハサミを入れる前に、
正方形の一辺の長さを測るのを忘れていました。
そこで、良いおじいさんは、後からできた小さな正方形の
面積を測ってみました。
すると、それは、200平方センチでした?
良いおじいさんが、バラバラになった紙を張り合わせてみると、
元の正方形の面積は、900平方センチでした。
ところが、となりに住んでいる悪いおじいさんが、
この話を聞いて、自分で紙を切って試してみたところ、
1000平方センチになりました。

1、良いおじいさんが正しい。
2、悪いおじいさんが正しい。
3、両方正しくない。
4、両方正しい。

答は何番?
この問題はゲームの国のアリスからです。(栃木県あっこさん)

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問題18

1 立方体の中には正六角形が隠れています。どうしたら現れるでしょう。

2 正四面体の中には正方形が隠れています。どうしたら現れるでしょう。(愛知県Craneさん)

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問題17 (00/06/19の航海日誌より)江戸時代の恋文に使われたという結びです。

正五角形でこの「恋文」を扱わないのは片手落ちでしょう。

この恋文には次のように書かれていました。

「幅xの紙の結びからできる正五角形の1辺の長さyをxで表せ」と。

実際、こういう「恋文」(?)がきたらどうしましょう。喜んで解きますか? どうしてこういう問題を出すのかとその「心」を解きますか?

正五角形の秘密へ


問題16 (00/06/20) 全ての辺の長さが整数となる直角三角形があります。このとき、この 三角形の面積は2の倍数になることを示してください。(愛知県Himawariさん)

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問題15(00/06/15 )
(1)AB=1のとき、対角線の長さを求めよ。

(2)星型の頂角和、∠A'+∠B'+∠C'+∠D'+∠E'は何度ですか?

(3)正五角形ABCDEと正五角形A'B'C'D'E'の面積比を求めよ。

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問題14(00/06/09) <犬の散歩>

太郎さんは愛犬ゴンを連れて散歩に出かけました、帰り道いつもの小学校の前まで来るとゴンの鎖を外してやりました。(都会ではルール違反でしょうか?)小学校から家までは直線の一本道で距離は1kmあります。ゴンはいつもの道なので迷うことなく、いちもくさんに家に向かって走り出しました。家に着くと直ぐに、今度は同じ道を帰ってくる太郎さんに向かって、迎えに行くかのようにまた走り出しました。やがてゴンと太郎さんが出会いますが、するとゴンはまた家に向かって走り出します。ゴンが家に着くとまた太郎さんに向かって走ります。太郎さんが家に着くまで、ゴンは太郎さんと家のあいだを、行ったり来たりを繰り返していました。
さてそこで問題です、太郎さんが小学校から家に着くまでのあいだに、愛犬ゴンは何km走ったでしょうか。太郎さんの歩く速さは4km/時、ゴンの走る速さは16km/時 とします。(AKIさん)

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問題13(航海日誌06/04より)
1.ここに金貨が8枚あります。しかし、1枚だけニセ物の金貨が混ざっています。まったく外見では全く区別がつきません。ニセ物は本物より軽いということだけが分かっています。天秤を2回使うだけでニセ物の金貨を見つけてください。

2.金貨をたくさん袋詰にしています。金貨の入った袋が10袋ありました。だれかがこの1袋をそっくりニセ物の金貨に換えてしまいました。ニセ物は外見上では区別がつきません。ニセ物は本物(1枚20gとします)より1g軽いとうことが分かっています。はかりを1回だけ使ってどの袋がニセ物の袋であるかを見破ってください。どうすればいいでしょうか?

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問題12(航海日誌05/26より)
A君、B君、C君に赤帽子3個、白帽子2個を見せます。そして本人達に分からないように適当に頭に帽子をかぶせ、残りの2個を隠します。本人自身の頭の帽子は見えないとします。他の人の帽子はもちろん見えます。A君、B君に順に聞きました。自分の帽子の色はなに色ですか? A君、B君は分からないと答えました。この答えを聞いていてやっとC君は自分の帽子の色が分かりました。さて、C君はどのように考えて分かったのでしょう?

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00/04/16
問題11.これは、かのナポレンの問題です。彼は数学が大変好きだったそうです。
任意の三角形△ABCがあります。
各辺にそれぞれ正三角形を作り、
これらの正三角形の中心を頂点とするように
△DEFも正三角形であることを証明せよ。

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00/04/04
問題10.田圃の田の字を以下にすれば速く書けるかという問題でした。
また、それは何秒かかるか。

1.ペンは(たてとよこへ)毎秒1pずつ動く。
2.ペンを上げ下げするのに時間はかからない。
3.田の字は2p平方の大きさである。(上、横の長い辺がそれぞれ2p)
4.ペンは自由に動かすことができる。
あっしー(大阪府)

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00/03/22
[問題9]∠Cを直角とする直角三角形ABCの斜辺AB上に
    BC=BC’なる点C’をとり、△ABCの面積を
二等分する直線を引き辺BCとの交点をPとする。
    この時、次の関係を示せ。

    2PC’=AB

(from Z Okazaki , Aichi)

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00/03/21
問題8
解法が問題6に類似した問題です。
2個の円O1(半径r1)とO2(r2)が互いに外接し、
直線 l にそれぞれ点A,Bで接している。
さらに円O3(r3)が直線 l と2個の円と接している時に、
次の関係を示せ。
1/root r3=1/root r1 + 1/root r2

出典:1989国際数学オリンピック問題4の類題
P.S.直線 l の l はLの小文字の筆記体
root はルートの記号
共に数式用の文字が無いので代用しました。
(From Z Okazaki , Aichi)

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00/03/17
問題7

愛知県公立n高校入試が終りましたので、数学の問題を1問を紹介します。PQRDEFGHの立体の体積を求めよ。

色々な解答がありそうです。考えてみてください。

また、解答ができましたらお寄せください。

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00/03/10
問題6

大中小の円があります。どの組み合わせが一番巾がせまいでしょうか? 一般の場合(n個)についても考察してください。

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00/03/06

問題5
三つの箱があって、一つにはダイヤが、他の2つには小石が入っています。A君はどこにダイヤが入っているかを知っていて、B子がそれを当てるゲームです。

A君:どの箱を選ぶ?
B子:じゃあ、これ。(まだふたは開けてません)
A君:(B子に残る2つのうち小石の入った箱を1つ開けて見せて)この箱には小石が入っているよ。ほら。今なら選んだ箱をかえてもいいよ。

<問題>B子は最初に選んだ箱を開けるのと、3番目(B子が選んだのでもA君がふたを開けたのでもない)箱を選び直すのとどちらがダイヤを当てやすいか?

出典は「理系のへの数学」1999.6臨時増刊3です。

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00/03/05
問題4

次の図を見てください

正方形の内部に任意の点をとり図のように緑とピンクに交互に色分けしています。緑とピンクの部分の面積は等しくなっているのが分かります。つまり、全体の正方形の1/2の面積になっています。

ウォーミングアップができたところで、正六角形の内部に任意の点をひとつとり、その点と各頂点とを結び交互に緑とピンクで色分けします。緑とピンクの部分の面積はやはり等しくなります。正2n角形について確めてください。

*これは、数学教室の1月号の表紙の問題です。

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00/03/04
問題3

 
∠A=20°の二等辺三角形ABCがあります。
∠BCD=50°,∠CBE=60°のとき、∠BEDは何度ですか?
(静岡県:村松芳子or,gongontaさん)

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00/03/02
問題2

整数の中に1と0はたった1つしかないことを証明せよ。

(千葉県:WAHEIさん)

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00/03/01

問題1.

図のように三角形ABC,辺AB上に点Pがあります。

点Pを通る直線で△ABCの面積を二等分するように作図せよ。

(中2の学年末の問題)

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