すうらくゆう;「すうらく」とは 数楽、「ゆう」とは、You、友、遊の意。

解答編

問題2

整数の中に1と0はたった1つしかない。


(証明)
(僕の考え)
たった1つしかない事を言うので、1以外に1と同じ性質を持つ1’が存在して、結局1=1’を言えばいいわけですね。さて、勝手な整数aを持ってくると、1a=a1=aですから、aに1’を代入します。すると、11’=1’1=1’です。 ここで、1=bとおきますと、b1’=1’b=1’・・・(1)です。ここで、1’は1と同じ性質を持つので、どんな整数にかけてもその整数を変化させないはずですから、b1’=1’b=b・・・(2)です。(1)と(2)を眺めてみると、1’=bですから、b=1を考えれば、1=1’となって、結局1は整数の中にたった1つしかない事がわかります。

次に0もたった1つしかない事を見てみましょう。勝手な整数aを取ってくると、a+0=0+a=aです。0以外に0と全く同じ性質を持つ0’があったとすると、aに0’を代入して0’+0=0+0’=0’です。0=bとおけば、 0’+b=b+0’=0’・・・(3)となり、0’は0と同じ性質を持ちますから、どんな整数に足してもその整数を変化させません。 ですから、0’+b=b+0’=b・・・(4)です。(3)と(4)を眺めてみると、b=0’であることがわかり、b=0ですから、結局0=0’です。よって0も整数の中にたった1つしかない事がわかりました。

実はこの問題は高校1年生の時に先生から教えていただいて、面白そうだぞと思い、4ヶ月間考えてようやくわかりました。もっとも、今思えばとても素直な証明ですから、いつ考えてみても「綺麗だなあ」と思うのです。
僕自身は数学の問題で4ヶ月も考え抜いた事がなかったから、この問題は印象に残っているのかもしれません。解けたときの気持ちは格別でした。全く、数学をやっていて、良かったなあという感じでした。
専門的に言うと、この問題は整数環において、環の定義から、和に関する単位元0と積に対する単位元1はたった1つしかない事を証明した事になりますが、こんな事は別にどうでもよく、中学生の皆さんや、高校生の方々にも数学の面白さがわかってもらえるんではないかと思います。でも、もしかしたらだまされた感じになるかもしれません。
僕の名前はWAHEIです。Yoshita先生、覚えていますか? 僕は千葉県出身です。ではまた。

*覚えていますよ。
いい問題をありがとう。自分という人間はたったひとりしかいない貴重な存在であるということ証明しているようですね。嬉しいですよ。新コーナーを作ったけれどだれも応募がないのではと心配していたんです。


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