すうらくゆう;「すうらく」とは 数楽、「ゆう」とは、You、友、遊の意。

解答編

問題16
全ての辺の長さが整数となる直角三角形があります。このとき、この
三角形の面積は2の倍数になることを示してください。

[解答]
3辺の長さをa,b,cとし、a^2+b^2=c^2をみたすとする。a,b,cが全て偶数
の場合は明らかに成立するので、あとはこれ以外のときを考えれば
よい。
上の関係式を考えてみるとa,b,cの中で少なくとも一つは偶数であり、
全てが偶数ではない。cが偶数である場合、a,bは奇数でなければな
らないが、上の関係式を考えると(両辺を4で割ったときの余りを比較
すると)矛盾してしまうので、cが偶数であるときは除外される。したが
って、aかbのいずれかが偶数となり、cは奇数となる。ここではaを奇
数、bを偶数とする(こうしても一般性を失わない)。そこでa=2t+1,
c=2s+1とする。
あとは、bが4の倍数であることを証明すればよい(この三角形の面積
はab/2であり、aは奇数なので題意をみたすためにはbは4の倍数で
なければならない。)。

ここで、bが4の倍数でないと仮定する。このとき、bが偶数であること
からb=4u+2であらわされる。これを上の関係式に代入すると

                4t(t+1)+16u(u+1)+5=4s(s+1)+1

となる。このとき、左辺を8で割ると5余る。しかし、右辺を8で割ると
1余るので矛盾。故に、bは4の倍数である。以上により題意はみた
された。
                                (証明終わり)(愛知県Himawariさん)

問題一覧へ   トップにもどる