特性インピーダンス 特性インピーダンス 特性インピーダンス 特性インピーダンス
  伝送線路の特性インピーダンスとは

改定: 2009/10/10 (初出: 2006/2/10)  


説明をよりわかりやすくするため、今後も内容を足したり削ったりすることがあります。ご了承ください。ご意見、ご要望、ご指摘をいただければありがたいです。あて先はページ末を参照ください。


目次

 


1. ケーブルは周波数によって違った姿を示す

テレビとアンテナの間をつなぐケーブルに使われる3C-2V特性インピーダンスが75Ωとされています。このケーブルの中心導体と周囲のシールド間の抵抗を測っても1MΩ以上で75Ωとはかけ離れた値です(図1-1)。仮にこのケーブルを1mに切って、中心導体の両端間の抵抗をテスターで測ってみても1Ωにもなりません。それではこのケーブルの75Ωという値は何を表しているのでしょうか?


図1-1 テスターでケーブルのインピーダンスを計る?
(この写真のケーブルは3C-2Vではありませんが)

同軸ケーブルは75Ωあるいは50Ωなどの特性インピーダンスを持つといわれます。インピーダンスとはコンデンサーやコイルを含んだ回路や部品を交流(50/60Hz)や高周波で使用した時に電流の流れにくさを示すもので直流での抵抗に相当する値です。周波数f(Hz)での容量C(Farad)のコンデンサーのインピーダンスをXとすると Xの大きさは1/(2*π*f*C) (Ω)となります。特性インピーダンスはそのインピーダンスとも少し違うものです。

図1-2はケーブルの中心と外部導体間のインピーダンスの周波数による変化を示したものです。横軸は周波数です。なおこのグラフはおおよその傾向であり厳密なものではありません(*参考)。MHz付近以下では周波数が下がるほど値が大きくなり、テスターで測った値に近づきます。一方、MHz以上ではほぼ一定の値(Z0 = (L/C)^0.5)になっています。この高周波域でほぼ一定になっている部分が特性インピーダンスといわれます。


図1-2 ケーブルインピーダンスの周波数特性

同軸ケーブルは内部導体と外部導体が接続されずに接近して配置されている訳ですから、直感的には一種のコンデンサーに見えます。コンデンサーなのでたしかに低い周波数では周波数が低いほど導体間の"抵抗"は大きくなります。図1-2の中で周波数が低い方の直線に示されている式のCは導体間のコンデンサー容量、Rは線路の抵抗です。この式は導体に抵抗があるコンデンサーのインピーダンス(周波数に応じた抵抗)を示しています。なおCとRは単位長さあたりです。

もし線路をコンデンサーとして考えてよいのであればMHz以上でそのまま直線的にインピーダンスは小さくなっていくはずです。ところがMHz以上では一定になっています。同軸形状の線路にかかかわらずツイスト線などであっても伝送線路はこのようにMHz付近から上の周波数(GHz程度まで)では同じようにインピーダンスは一定になります。ということは数10kHz以上の信号を扱う場合、伝送線路はコンデンサーとして考えてはいけないということがわかります。

 

・ 特性インピーダンスの理論的背景を知りたい方は → 2へ

・ 理論的背景はパスして各種線路の特性インピーダンスについて知りたい方は → 4へ

 

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●2. CとLで線路上の信号をあらわす電信方程式にも問題がある

19世紀中ごろ、海底ケーブルで大陸間を電信でつなぐ技術を指導して世界的な電気理論などの権威だったトムソン(William Thompson, Baron Kelvin of Largs 1824-1907)も線路はコンデンサーとしてしか考えていなかったということです。当時は数Hz程度でオン/オフする電信信号しか扱っていなかったので当然だったのかも知れません。このトムソン(ケルビン卿)に対して電信技士であったヘビサイド(Oliver Heaviside, 1850-1925)という人が当時発表された電気・磁気の伝わり方の基本式を表したマクスウエルの式を研究、活用してこの現象の解明に独自に取り組みました。

ヘビサイド、線路を微小なコンデンサーCと微小なインダクタンスLを複数段重ねた(分布定数といいます)モデルで表しました(図2-1)。


図2-1 LとCで線路を表す分布定数回路




図2-2 損失を考慮した分布定数回路の一区分

1mあたりの値となっていますが1mごとに区分して計算すればよいということ

ではありません。区分はできるだけ小さくしないと計算と実際があわなくなります。

ここで次の式を見たくない人は→パス

線路の損失を考えない図2-1の場合は、線路の単位長さ(m)あたりのインダクタンスをLとすると線路長さ凅の電圧低下-况は式2-1で表されます。また線路間の単位長さ(m)あたりの容量をCとすると線路長さ凅の電流損失-冓は式2-2が得られます。

-况 = L *凅 * di/dt  (式2-1)

-冓 = C * 凅 * dv/dt  (式2-2)

凅→dxとすると式2-3,2-4が得られます。

   (式2-3)

   (式2-4)

 

式2-3, 2-4から電圧あるいは電流について式を整理すると電圧についても電流についても同じ係数(1/(L*C))を持つ式2-5と2-6が得られます。

   (式2-5)

     (式2-6)

式2-5あるいは2-6の形の式は(1/L*C)^0.5を速度(dx/dt)とする波動として伝わっていくことを示す波動方程式であることが知られています

電圧と電流の比から抵抗に相当する値をZ0として求めると Z0= (L/C) ^0.5を得ます。これが図2でMHz以上で一定となっている特性インピーダンスの部分です。通常インピーダンスは周波数によって変化します。しかし周波数にかかわらず一定となり、伝送線路の単位長さあたりのLとCというその線路の特性によって決まるため特性インピーダンスと呼ばれています。

(L/C) ^0.5LとCのみから求めているのですが物理量を見ると抵抗と同じになっています。つまり、まったく線路の損失がない場合でも50Ωなどの抵抗と同じ物理的な値になります。回路の途中に伝送線路(無限の長さ)をつなぐと回路側からは純抵抗をつないだのと同じ動作がみられます(もちろん図1-2でインピーダンスが一定になっている数MHz-GHzの範囲の周波数に対しての動作です)

伝送線路はこのように高周波では周波数によらず一定のインピーダンスになることが信号を伝送するためには非常に役に立つことになります。線路をコンデンサだけで考えていたトムソンは長い線路を経由して高い周波数を送ることは不可能とさえ言っていました。しかし一定のインピーダンスになるため同軸線のような線路を使ってある程度の長距離の伝送が行えるだけでなく、高調波成分を含むパルス状信号であってもひずまずに伝送することが可能となります。

線路の損失を考慮する場合は図2-2のモデルで考えます。LとRは単位長さあたりのインダクタンスと抵抗分で、内部導体と外部導体の両方をまとめて一つずつのLとRで示しています。またCは導体間の単位長さあたりの容量、Gはその容量(絶縁材)の電流漏れに相当する単位長さあたりのコンダクタンス(抵抗の逆数)です。損失がある場合の波動方程式の導出および損失項による波形ひずみと補正について補足2を参照ください。

さてこのように伝送線路にかかわる工学的に必要な答えが計算でそれなりに求められるので、この式を説明する図2-1,2-2のような姿が実際の電気信号の伝わり方だと思っている人も多いようです。つまり、図2-2の入り口(図2-2の左側)に加えた電圧が原因になって直列のRとLに電流が流れ、電圧と電流によってエネルギが伝送されるという直流や交流の考え方です。

しかしそれは物理的実態ではありません。物理的には以下に示しますマクスウエルがまとめた電磁的法則(マクスエルの式)にしたがって、電荷の変化自体が原因となって伝わって行きます。電信方程式の問題点についてはここなども参考になります。

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●3. 線路にはさまれた空間のインピーダンス

マクスウエルの式によれば変化する電界(電場)(注)があればそれに伴って磁界(磁場)が変化し連鎖的に空間を伝わって行く(平面電磁波では電界(電場)が最大で磁界(磁場)はこれに直行して最大となって伝わる)ということになります。電磁波が飛び交う空間の様子は、電界(電場、加速度的に変化する)ができたときにどれだけ磁界(磁場、変化する)もできるか(逆も)という電界と磁界(電場と磁場)の比で決まります。この電界と磁界(電場と磁場)の比空間インピーダンスと呼んでいます。真空中の空間インピーダンスη0は式3-1で表され、 約377Ω(空気中もほぼ同じ)です。

この空間インピーダンスは空間の場の電場の性質を決める誘電率と磁場の強さを決める透磁率との比とも同じとなります。式3-1は真空の空間インピーダンスη0を真空の誘電率ε0と透磁率μ0で表したものです。

η0=(μ0/ε0)^0.5    (式3-1)

空間のインピーダンスが誘電率と透磁率で表されることがわかりました。次にその空間を導体ではさんだ場合を考えます(図3-1のようなもの、表面が露出した金属のような導体で抵抗は0とします)。

式3-2は図3-1の形状の線路の特性インピーダンスZ0を示したものです。hは導体間の間隔、Wは導体の幅です。ただしh<<W。εrは真空の誘電率を1としたときの絶縁材の誘電率の比で比誘電率。通常の絶縁材は透磁率はほぼ真空と同じで比透磁率μr1とみなせるため式3-2では示されていません。


図3-1 導体ではさまれた空間の例

Z0 = 377Ω*εr^0.5* h/W     (式3-2)

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●4. 線路の特性インピーダンス

4.1 同軸線路の特性インピーダンス

図4-2は同軸ケーブルの例です。同軸線路の断面は図4-1で示されます。式4-1は図4-1のパラメータを持つ同軸線の特性インピーダンスを表す式です。この式から内部導体の径dと外部導体の径Dおよび導体間の比誘電率εr(真空の誘電率ε0を1としたときの比)によって特性インピーダンスZ0が決まっていることがわかります。内部と外部の導体の大きさは"比"で示されますので比を一定にした相似形であれば外形が大きくても特性インピーダンスは同じになります。物理系でもこのような線路のインピーダンスを求めるには線路の途中の点の微小な範囲の導体間の電圧をそれと直行する方向の電流で割り、その比から抵抗に相当するインピーダンスを求める方法がとられています。同軸ケーブルの特性インピーダンスをオンラインで計算できるツールを公開しているページ(I-Loaboratoryのサイト)もあります。


図4-1 同軸線の断面 

(I-Laboratoryの計算ツールより)

Z0 = 138/(εr)^0.5 * log (D/d) (logは10log)       (式4-1)

外部導体の内径数mmで長さ1m程度の同軸ケーブル(例えば図4-2の右側)を数百MHz程度の周波数で使う場合のように線路の損失が実質無視でき、絶縁部が比透磁率=1の誘電体(比誘電率εr)で出来ている場合は式8でわかるように結果的に形状と誘電率で特性インピーダンスが決まります。超電導材でケーブルを作ると特性インピーダンスも0Ωになるのではないかという質問が出ることがあります。特性インピーダンスが50Ωの銅でできた同軸線と形状(内外導体の比)が同じであれば抵抗がまったく"0"Ωの超電導材であっても特性インピーダンスは50Ωになります。

参考ページ:同軸ケーブルはなぜ50Ωか



図4-2 同じ特性インピーダンス50Ωの同軸ケーブル
(誘電体が異なるため内外導体径比が同じでない)

4.2 基板パターン線路の特性インピーダンス

ベタ面の上を走る基板パターン(信号線路)の場合、線路の幅Wとベタ面からの距離Hおよびその間の絶縁材の比誘電率εrにより特性インピーダンスが決まります。多く使用されているガラスエポキシ基板では比誘電率εrは4.5程度です。なお、高周波信号ラインや電気信号のパターンでは線路に近接しているベタ面が電源層でもグランド層でもDC電圧にかかわらず特性インピーダンスは同じです。図4-3のような断面形状の場合、マイクロストリップライン、図4-4のようにベタ面にはさまれた形状をストリップラインと呼びます。これらの線の特性インピーダンス計算式は以下にしまします。特性インピーダンスをオンライン計算できるページもあります。


図4-3 マイクロストリップ線路

 (Ω)    (式4-2)

ただし、0.1<W/H<3, 1<εr<15

 



図4-4 ストリップ線路

 (Ω)    (式4-3)

ただし、0.1<W/H<2, T/H<0.25, 1<εr<15

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●5. 反射と特性インピーダンス

真空あるいは空気中の空間インピーダンスは377Ωと説明しました。部屋の壁をフェライト材のような電磁的に吸収する材質で貼って、空間を進んできた平面波が来ると377Ωの抵抗を示すようにすると壁で電磁波が吸収され反射しません。このような材質で壁、天井を仕上げた部屋を電波暗室と呼び機器からの漏洩電磁波をアンテナで測ったり、アンテナから電力を印加して機器が誤動作するか試験するのに使います(図5-1)。

図5-1 電波暗室の壁は空間インピーダンスの抵抗にあわせている
(扉の内側に格子状のフェライト材が貼られている)

線路の場合も線路の端に同じように線路間の空間のインピーダンス(特性インピーダンス)に合わせた抵抗を線路間に付けると反射が起きないようになります。特性インピーダンスが50Ωの線路の先に50Ωの抵抗を付けると進んできた電磁エネルギーは反射せず抵抗に吸収されます(図5-2)。このような抵抗を線路の端に付けることを終端するといいます。


図5-2 50Ωケーブルの端に50Ω抵抗を付けた(終端した)様子。
50Ωからのズレが非常に少ない特殊な基準抵抗のため

反射がほとんどない(電力で1万分の1以下の反射)。

ネットワークアナライザの校正などで使用する。

 

ところで、高周波の電力増幅アンプなどでは送り出し側の内部抵抗が特性インピーダンスと同じにしにくいことがあります。このような場合は終端側は線路の長さによって決まる位相変化に応じた複素インピーダンス(共役)にすることで電力の反射をなくすことが出来ますが詳しくはここで述べません。

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(補足1) ヘビサイドの電気工学への貢献は大

図1-2のグラフでは特性インピーダンスZ0はZ0=(L/C)^0.5と表されています。このLとCは線路を分布定数として示した回路(図4)のLとC(単位長さあたり)です。線路は図6を見ればわかるように基本的にコンデンサーを細長くしたものと言えます。本来コンデンサCは面積のある金属板を近くに置いたものです(C=ファラッド/m)。またLは長さのある線路を巻いたソレノイドが基本です(L=ヘンリー/m)。両方とも大きさがあることを前提にした部品であり、正しくは大きさが無い集中定数部品ではないわけです。線路の電気的特性をCとLで表すことは形状のパラメータも入っていることになっています。

線路を使う電信が実用化された19世紀中頃は線路を単にコンデンサとして考えていたそうです。電信の速度は1秒に数ビットという遅さだったので千キロの長さでも波長以下のため問題が明確には表面化しなかったものと思われます。

19世紀の後半、16才までしか教育を受けず、その後電信技士となっていたイギリス人ヘビサイド(Oliver Heaviside, 1850-1925)は1873年に出されたマクスウエルの本「電気磁気論」に触れてから24才で田舎に引っ込み独学し、線路を伝わる信号の時間応答を示す、式1の電信方程式をまとめました。電信方程式は電気信号の伝わり方の基本を示したマクスウエルの式を参考にしてコンデンサだけでなくLの成分もあわせた形でこのように表現したものです。LとCを極限の微小区分で表せばマクスウエルの式とあうことになりますが有限の区分で取り扱ったり、計算を行ったりすると実際とは異なってきます。またすでに書きましたように、電荷の変化自体が電気信号の動きを作って行くわけですが、直流や交流回路のように負荷に電圧を加えることで電気の信号が伝わるという誤った理解を生む一因になっていると思われます。

なお、この電信方程式は微分方程式(両辺が2階の微分)であり、コンピュータも無い時代には計算が大変でした。このためヘビサイドは微分方程式が簡単な代数に置き換えられる演算子法という方法を考え出しました。現在ラプラス変換として広く使われている方法です。"ラプラス"というフランスの数学者の名前がついたのはヘビサイドが数学的な証明を積み重ねてまとめたものでなかったため数学界からは認められず、ラプラスが考えたものと実質同じとされたためです。しかし工学面で広く使われるようになったのはヘビサイドの努力があったためと言えます。ラプラス変換を用いると回路に階段状の電圧波形を入れたときにどのような波形が出てくるかを四則演算の範囲で出すことが出来ます。またヘビサイドはマクスウエルの式もわかり易く手直しするなどし、現在でも大学レベルの電磁気、電気回路の解析の多くの部分はヘビサイドがまとめたと言われています(参考文献1)。

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(補足2) 電信方程式の変形

損失がある伝送線路の単位長さあたりの構成を図B-1のように考えます。式2-3,式2-4と同様に線路の微小部分の電圧、電流を考え式B-1,B-2を得ます。


図B-1

(d/dx)(v(x,t)) = -R*i(x,t) - L*(d/dt)(i(x,t))  (式B-1)

(d/dx)(i(x,t)) = -G*v(x,t) - C*(d/dt)(v(x,t))   (式B-2)

式B-1,B-2を変形する(2つの式からiを消去しvの式にする)と式B-3を得ます。

d^2v/dx^2 = -R*G*v + (L*G - C*R)*dv/dt  +L*C*dv^2/dt^2  (式B-3)

L*G = C*Rとすると波形なまりにかかわる項が消えます。電線の途中にコイルを入れてこの関係が成り立つようにして損失による波形のなまりを防ぐ方法が音声信号を遠距離に送る線路に使われたそうです。しかし大きなコイルを入れると高い周波数を通せなくなるのでコイルを入れない方法がその後とられるようになりました。

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(補足3) コンデンサーのインピーダンス周波数変化

実際のコンデンサーは図1-2の低周波数側の斜めのインピーダンスの線のように一旦周波数が上がるにつれてインピーダンスは低下しますが、リード線の部分がインダクタンスとして働くためリードのLとCで自己共振を起こします。自己共振周波数以上ではインダクタンスとして働くため逆に周波数が上がるにつれてインピーダンスは増加して行きます(図C-3 )。


(補足4) 主な伝送線路の特性インピーダンス計算式  (参考文献2)

(準備中です)

(補足5) 線路のZ0(特性インピーダンス)を測定で求める

(準備中です)

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参考文献:

1)見城尚志,図解・わかる電気と電子,1999,講談社
  
2) B.C. Wadell,Transmission Line Design Handbook,1991,Artech House Publishers. (英語)

  さまざまな断面形状の線路の特性インピーダンスをまとめた本として世界的に有名。

3) J.D.Kraus,他, Electromagnetics with Applications, 5th edition, 1999, McGraw-Hill.

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