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階乗・順列・組み合わせ

[ 階乗 | 順列 | 組み合わせ | 重複順列 | 重複組み合わせ ]

【階乗】 (Factorial)

下記の順列や組み合わせを計算する為に階乗の概念が必要です。
例) 5! = 5×4×3×2×1 = 120
例外) 0! = 1

! =

※数値には半角数字をお使い下さい。


【スターリングの公式】

階乗は数値が大きくなればなるほど計算回数が増えてしまうという欠点があるため、近似値を出す必要性に駆られることがあります。

 n! 〜 √ 2nπ ×n×e−n

π ≒  ,
√ 2nπ  ≒  ,
 =  ,
−n ≒  ,
 〜  ,
誤差 


【ガンマ関数】

小数の階乗を求めるのであれば、ガンマ関数を使うしかないですね。

 Γ(λ)  = 
λ−1−xdx
部分積分すると、
 Γ(λ) = (λ−1)Γ(λ−1)
 λ≧2
となる。
 Γ(λ) = (λ−1)!


【階乗の末尾に連続する0の個数】

数学で100!の末尾に連続する0の個数を問う問題がある。
実際に100!を計算するのは大変ですね。
ではどうやって計算するのか。
結論から言うと、
 100! = a5
のbを求めれば良いのです。
 95 = 19×5
 90 = 18×5
 85 = 17×5
 80 = 16×5
 75 =  3×5
 70 = 14×5
 65 = 13×5
 60 = 12×5
 55 = 11×5
 50 =  2×5
 45 =  9×5
 40 =  8×5
 35 =  7×5
 30 =  6×5
 25 =  1×5
 20 =  4×5
 15 =  3×5
 10 =  2×5
  5 =  1×5


【順列】 (Permutation)

異なるn個から順序を考えてr個を選ぶ事を順列と言います。
順列の個数をnと表します。
     = 
n!
 (n−r)! 
例) 赤、青、黄の3枚の色紙を順番に並べる並べ方は何通りですか。
答) = 6(通り)

 =    
  
 =   = 
※数値には半角数字をお使い下さい。

【組み合わせ】 (Combination)

異なるn個から順序を考えずにr個を選ぶ事を組み合わせと言います。
組み合わせの個数をと表します。
     = 
n!
 r!(n−r)! 
例) 1から5まで書かれたカードから3枚を取り出した場合の組み合わせは何通りですか。
答) = 10(通り)

 =    
  
 = 
※数値には半角数字をお使い下さい。

【重複順列】 (Repeated permutation)

異なるn種類から順序を考えてr個を選ぶ事を重複順列と言います。
重複順列の個数をΠと表します。
    Π
 = 
※重複順列の計算に階乗は使いませんが、便宜上このページに含めます。

Π
※数値には半角数字をお使い下さい。

【重複組み合わせ】 (Repeated combination)

異なるn種類から順序を考えずにr個を選ぶ事を重複組み合わせと言います。
重複組み合わせの個数をと表します。
 = (n+r-1) =  (n+r−1)! 
 r!(n−1)! 

 =   =    
  
 = 
※数値には半角数字をお使い下さい。

コーヒーブレイク

突然ですが、以下の数列の次の項はいくつですか?

階差数列で解けそうです。
これは階差数列で次の項は、21+7 = 28だ。

答えは25です。

は?と思われた方もいらっしゃるでしょうね。

     = n+1 = 
 (n+1)! 
 2!(n−1)! 
 =   n×(n−1) 
 2 

という数列です。

6項までは等差数列の階差数列なのに・・・。
こんな問題を出されたら困ってしまいますね。

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