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 特定の条件を満たす場合のLCR直列回路におけるエネルギー湧出現象とハチソン効果との関連性について


 一般によく知られたLCR直列回路の動作だが、ある構造を持つこの回路について調べた所、一般解からエネルギーの湧出を示すと思われる計算結果が得られた。
 通常、発振器の原理として利用されるLCR共振だが、特に、Rの抵抗値が大きい場合(角振動数ωが虚数になる状態)については、回路から切り離して独立に充電したコンデンサを再度LR部分に接続し、放電させた場合、Rにおいて消費される電力が、コンデンサの放出する電力よりも大きくなるという結果が得られたのである。この現象は、コンデンサを放電させた際に、コイルに生じる誘導起電力の向きが、コンデンサの電位差と同じ方向を向くために生じると考えられる。
 この原理を利用することで、入力に対して2倍のエネルギー(差分である利得【ここでは、増幅による利得と区別するために、「利益」と表現する】は、入力と等量)を熱として取り出せる可能性が、理論的に予測される。


 1)LCR共振回路の一般解

 ごくありふれた微分方程式なので、おそらく専門家の方には説明するまでも無いと思うが、そうでない方の為に、ここで仮定したケースでの共振回路の振る舞いについて、改めて方程式とその解を示しておくことにする。




図1 充電されたコンデンサに放電させる場合のLCR直列接続回路


 この回路の動作は、コンデンサCに蓄えられた静電エネルギーの電位差をV
、放電した際に流れる電流をI、IによってコイルLに生じる逆起電力をV、同じくIによって抵抗Rに生じる電位差をVとし、次の方程式によって表される。


 V
+V+V=V−LI’−IR=0

 I=−CV



 これを連立させて解くと、コンデンサに蓄えられている静電エネルギーの電位差の初期値をV
として、

 V=V
・e*(−ωt)

 I=ωCV
・e*(−ωt)

 ∵ω=(R/2L)±(R*(2)/4L*(2)−1/CL)*(1/2)
 (ωは、二次方程式”CL・ω*(2)−CRω+1=0”の解)


が得られる。特に、R=2・(L/C)*(1/2)のとき、ω=1/(CL)*(1/2)となる。

 また、V
、Vは、次のようになる。

 V
ω*(2)・CLV・e*(−ωt)

 V
−RωCV・e*(−ωt)

 以上が、この回路の基本動作を表す各解である。


 2)この回路で消費される電力

 コンデンサが放電することにより、電流Iが流れた時にこの回路で消費される電力は、上記の解により以下の通りとなる。各、コンデンサでの電力(放出される電力で、積分すると静電エネルギーの総和に等しくなる)はW
、Lで消費される(これについては、後で説明する)電力はW、Rで消費される電力はWである。


 W
=I・V=ωC・V*(2)・e*(−2ωt)

 W
I・V=L・(CV)*(2)・ω*(3)・e*(−2ωt)

 W
I・V=−R・(ωCV)*(2)・e*(−2ωt)


 ここで、場合を特定し、R=2・(L/C)*(1/2)とおくと、ω=1/(CL)*(1/2)より、各Wは次のようになる。


 W
=2・V*(2)e*(−2ωt)/R

 W
2・V*(2)e*(−2ωt)/R

 W
−4・V*(2)e*(−2ωt)/R


 これにより、コンデンサが放出する電力と、抵抗Rで消費される電力では、絶対値の点でRにおいて消費される電力の方が大きいことが分かる。比較すると、


 2|W
|=|W


である。
 コイルLでは、電流の方向上、コンデンサの電位差と同じ向きに逆起電力が生じる。この起電力は、回路において、いわばコンデンサに蓄えられているエネルギーと同じ量のエネルギーを、コンデンサと同じ向きに放出する。そのため、抵抗Rでは、コンデンサとコイルに生じる電力を打ち消すだけの量の電力が、消費されることになるのである。
 抵抗Rでは、消費された電力が熱として放出されるはずである。従って、この回路では、「最初に蓄えられた静電エネルギー<取り出される熱エネルギー」という不等式が成立していることになり、理論上、入力よりも大きな現実のエネルギーを放出するという結果が得られる。
 この回路においてこのような状態が出現するのは、Iに対してLが発生させる逆起電力の向きが、コンデンサの電位差の向きと同じになってしまうことによる。いわば、コイルが磁気エネルギーの借金をして、その分が抵抗Rから取り出される形になっていると考えられるのである(この点については、後述のハチソン効果の原理に関する説明の所で具体的に説明する)。
 しかし、ここでもし、Lに更に二次コイルを間接的に接続し、それを抵抗R´と直列に接続して、Lに発生する(おそらくは”借金”を意味するマイナスの符号を持つであろう)磁気エネルギーをR´で熱として取り出すことを考えれば、最終的に取り出すことのできる熱のエネルギーの総量Wは、電力で考えて、W=3|Wとなる。その場合、取り出せる純利益に当たるエネルギーは、2|Wである。
 よって、ここで仮定される状況下では、コンデンサに蓄えられたエネルギーの3倍の熱が、現実のエネルギーとして取り出される計算となる。その場合、コンデンサに蓄えられていた最初のエネルギーはR´で取り戻す計算になるので、実質的に、静電エネルギーの2倍に当たる量のエネルギーが、純粋に取り出される計算となる。


 3)コンデンサへの充電時に抵抗で消費される熱エネルギーも含めた総合的な計算

 コンデンサへの充電は、直流電源(電圧V
)に抵抗RとコンデンサCを直列に接続し、充電する状態を考える。
 このとき、コンデンサの両端の電位差Vと、R
に流れる電流Iは、


 V
 =−V+V・e*(−t/RC)

 I
−V・e*(−t/RC)/R


となる。
 時間tを0から∞まで考え、コンデンサに完全に静電エネルギーを充電する状況を考えると、t→∞の極限において、まず、コンデンサに蓄えられる静電エネルギーE
の量は、


 E
=−C・V*(2)/2


となる。また、これと同じ考え方で、R
が消費する電力についても時間積分し、消費される全エネルギーEを算出すると(積分の区間0≦t≦∞は省略してある)、


 E
−(V*(2)/R)・∫e*(−2t/RC)dt

   =−(V*(2)/R)・[−RC・e*(−2t/RC)/2]

   =−V*(2)・C・R/2R
=−C・V*(2)/2


となり、コンデンサに蓄えられる静電エネルギーに等しくなる。
 よって、コンデンサに充電する際に電源が放出するエネルギーの総量E
は、


 E
−E−E=C・V*(2)


である。

 次に、図1の回路から取り出すことのできるエネルギー(抵抗から出る熱)の総量を計算する。こちらも、同様に、時間を0から無限大の間で想定し、それぞれW
とWを計算する。ただし、Lに二次コイルを接続してそこから別の抵抗に熱のエネルギーを生じさせる分については、Lに蓄えられる磁気エネルギーに等しいものとして考える。従って、図1の回路で発生するエネルギーの総量は、Lに生じる磁気エネルギーの総量と、Rで発生する熱としてのエネルギーの総量との、「絶対量」としての和になる。


 E
=∫Wdt=L・(CV)*(2)・ω*(2)/2

 E
=∫|W|dt=Rω・(CV)*(2)/2


より、図1の回路のLとRに生じるエネルギーの総和E
は(先のωの解により、方程式を利用してωの次数を下げてある)、


 E
=C・V*(2)・(CL・ω*(2)+CRω)/2

   =C・V*(2)・(2ωCR−1)/2


となる。これに、充電時に消費された熱エネルギーを回収することを考えると、更にE
が加算されて、


 E
+E=ωR・(CV)*(2)


が、実際に熱として取り出されるエネルギーの総和である。

 以上により、=E
+E−Eは、先のωを導出する際の方程式を利用すると、


 
ωR・(CV)*(2)C・V*(2)

  =C・V*(2)・(ωCR−1)

  =CL・ω*(2)・C・V*(2)

  =L・(ωCV
)*(2)


となり、ωが実数のとき、となる。
 ωが純虚数の場合は、ω*(2)が負となるため、損失の方が大きくなる。よって、少なくともω>0ならば、エネルギーが取り出せるという結果が得られる。そのためのRの条件は、先のωの解により、R≧2・(L/C)*(1/2)である。

 以上により、
少なくともR≧2・(L/C)*(1/2)のとき、この装置からは、入力に対して利益に相当するエネルギーが取り出せる。


 4)特に、
R=2・(L/C)*(1/2)、ω=1/(CL)*(1/2)の場合

 このRの条件は、ω>0且つ実数であることを満たしているので、エネルギーの取り出しが可能なはずである。また、発振の角振動数が虚となる条件は、R≧2・(L/C)*(1/2)なので、ω(Rへの依存性を持つ)がこの条件を満たさなくなるような非常に大きなRを選ばない限り、殆どのRでエネルギーの取り出しは可能であろうと考えられる。
 そこで、
具体的にR=2・(L/C)*(1/2)、ω=1/(CL)*(1/2)のケースを想定し、その場合に取り出すことのできるエネルギー量を計算してみることにする。

 まず、コンデンサに充電する時のエネルギーはE
で変わらない。
 一方E
+Eは、
R=2/Cωより、=2C・V*(2)となる。これより
は、


 C・V*(2)


となり、計算上コンデンサに蓄えられる静電エネルギー二つ分に相当するエネルギーの湧出が認められる。


 この装置の動作は、結果として、R
で消費されたエネルギーを無視し(最終的には回収されるので計算上無視しても差し支えない)、Cに充電した後LR部分に接続するという手順で考えた場合、本来借りたエネルギーに相当するはずのコイルに生じたエネルギーを、トランスを通じて絶対量である正のエネルギーとして取り出すことにより、E+(−E)=Eとして成立していたエネルギーの関係式を、E+|−E|=3E>Eという形に書き換えたことと同じ意味を持つ。
 分かりやすく表現するならば、借りたエネルギー−Uの符号をプラスに変えることで、本来U+(−U)=0となるべきところを、−Uを熱として取り出すことで絶対値化し、U+|−U|=2Uとしてしまったのが、この装置の動作を表す基本原理である。

 以上をまとめて、次の図2に示しておく。



 図2 回路の基本構成図


 (図の説明)
 まず、スイッチを@に入れると、電源V
から電力が供給されてCを充電する。次に、スイッチをAに入れると、LとRに電流が流れる。矢印は、各部分に生じている電位差の向きである。
 このとき、Lで生じる電位の降下は、Rでの電位の降下で打ち消され、Rに生じる残りの電位の降下が、Cの電位差と等しい大きさで逆向きになるように振舞う(たとえば、Cの電位差を+1とするならば、Lでの電位の降下分は+1、Rでのそれは−2である。よって、1+1−2=0でキルヒホッフの第二法則を満たし、回路としての釣り合いを保っている状態となる)。
 絶対値として比較すると、Rでの電位の降下はLでの電位の降下分の二倍である。すると、Lに二次コイルを接続し、R´でそれを熱として取り出すことで、本来打ち消しあうはずのものが、逆に絶対値同士の和として、エネルギーの総量を増やす働きとなる。これにより、電源が供給するよりも大きな熱が、各抵抗部分に生じることになる。
 因みに、図ではLに二次コイルを空芯で接続しているが、これは抵抗とコイルの間で共振を起こさせ、受電の効率を最大に上げることを目的としている。Lに生じる電位差は電流と同位相であるため、抵抗に生じる逆起電力も電流と同位相であることから、二次コイル側の回路では、時間に関係なく回路全体の電位の降下が常にゼロとなり、いわばトランスの二次コイルにコンデンサを並列に繋いだ共振回路が回路全体の電位の降下を時間に関係なく常にゼロに保ち、それによって受電の効率を上げることができる(スーパーテスラコイル(空芯電磁誘導の基本原理)のページを参照)ことと同じように、非常に良い効率で二次コイルが受け取った磁気エネルギーをR´で消費させることが可能であろうと予測される。


 5)実用的な回路について


 図3 テスラコイルを変形した形の装置(Twisty Energy Multiplier)



 この回路は、図2の装置を連続的に駆動できるようにしたもので、オリジナルはテスラコイルである。単に、昇圧器部分の形を、二次コイルと金属球の組み合わせから、二次コイルと抵抗器の組み合わせに変更したに過ぎない。
 ただし、各部分の値については、R≧2・(L/C)*(1/2)という条件が付いている。通常、テスラコイルは正弦波形の共振を目的とするため、Rは限りなくゼロに近い方が理想的なのだが、この場合は、あえてRを大きく取る設定になっている。この部分については、通常のテスラコイルの使用条件とかなり異なるセッティングである。
 三つの抵抗器は、同じヒーター部分として、そこから発生する熱を全て取り出すようにする。これにより、駆動に必要な、電源から供給される電力は、全て熱として回収され、更に余剰分の利益に当たるエネルギーをRから取り出すことができる。ここでは、R
とR´で電源の供給分を回収し、Rから余剰分が取り出されるという計算で考えている。
 回路の駆動は、次のような順序になる。
 まず、火花ギャップ(Spark gap)がLR部分とCとを隔てているため、最初は電源からのエネルギーがR
とCに供給される。

 次に、Cに十分なエネルギーがたまると火花ギャップが開いてLR部分に通電し、LCR直列回路として動作する。このとき、Rの条件により、発生する電流の角振動数ωは虚数となり、単調減少する自然対数的な曲線を描く。この波形が、抵抗Rに利益を生む。
 
この回路は、Cにたまったエネルギーが放出され、火花ギャップを開くことができなくなると、自動的に火花ギャップが閉じ、電力がCの充電に回される。こうして繰り返し充放電を行うことで、連続的な駆動が可能となっている。
 灰色の矩形で囲まれた部分から放出される熱は、全て利用し、水を加熱して発生させた水蒸気を使って発電機を回すことも考えられるが、断熱材と併用してペルチェ素子や熱電対による発電を行うことも考えられる。小型の発電機として実用化する場合には、ペルチェ素子や熱電対を使う方法が有効になるだろう(注;ペルチェ素子とは、電流を流すと熱が移動して温度差を生じる半導体で、これを逆にすると、温度差に応じて発電することができます)。


 6)ハチソン効果との関連性

 カナダの研究者ハチソン氏が、実験中に偶然発見したハチソン効果だが、この現象の原因と思われるものが、この装置の動作原理の中に見出される。それは、コイルに生じる磁気エネルギーが、借り出されたものであるということに起因する(ハチソン効果とは、巨大なテスラコイルを二つ使って電力の無線送電実験を行っている最中に、偶然二本のテスラコイルの間の特定の位置に置かれた物体が溶け出し、浮上したという特異な現象である。再現実験に成功したという話は、私の知る限り、今の所聞いていない)。

 このハチソン効果を再現できる可能性のある回路を、次の図4に示す。



 図4 ハチソン効果を再現する為の回路図


 回路の各定数は、次のようになる。

 ・回路の各定数(条件1)

 R
;任意(Cへの充電速度に応じて定める)

 C、L、R、C´、L´、R´については、次の関係式を満たしていれば良い(これは、計算が最も容易な値である)。


 関係式;ω=1/(CL)*(1/2)=1/(C´L´)*(1/2)、

     
R=2・(L/C)*(1/2)R´=2・(L´/C´)*(1/2)


以上である。

 これらの定数を満たす図4の回路では、C´においてエネルギーの不足が起こる。その不足分を、トランスを通じてR´から熱として放出させるというのが、5)までの主題であったわけだが、
その不足分をコンデンサに生じさせることで、コンデンサC´の内部の電場が生じている領域内でエネルギーの吸収を起こさせることができるのではないか、というのが、ここでのハチソン効果の発生原理に関する理論的予測である。

 このC´に発生するエネルギーが、熱として放出される実のエネルギーを正とした時に、反対の「吸収」を意味するであろうマイナスであることは、次のようにして示すことができる。

 L´C´R´部分に流れる電流をI´=I
´・e*(−ωt)とし、この回路部分でのエネルギーの消費の状態を調べる。
 まず、W
C´、WL´、WR´を時間tについて0≦t≦∞の間で積分し、総エネルギー量EC´、EL´、ER´を計算する。計算は、結果のみを示す。


 E
C´=I´*(2)/2C・ω*(2)(=L´・I´*(2)/2)

 E
L´=L´・I´*(2)/2

 E
R´=−R´・I´*(2)/2ω(=−L´・I´*(2))


 括弧内の式の変形は、Rとωの値を利用している。
 
これにより、この回路においても、次の等式が成り立つ。


 E
C´+EL´+ER´=0


 ここで、Lで消費されるエネルギーを基準にして考えているため、抵抗Rで消費されるエネルギーの符号が負になっているが、これを入れ替え、抵抗で熱として発生するエネルギーを正とし、符号を入れ替える。すると、各エネルギーは、次のようになる。


 C´−L・I*(2)/2

 E
L´=−L・I*(2)/2

 E
R´L・I*(2)



 E
L´は入力されたエネルギーで、ER´はこの場合、消費されて熱として放出されたエネルギーである。この二つを足したエネルギーEL´R´は、


 E
L´R´L・I*(2)/2


である。
 よって、この回路でのエネルギーの釣り合いは、この正の値を持つEL´R´、それと同じ大きさで負の値であるEC´の間で成立していることが分かる。
 しかし、EL´R´は熱として放出され、従って、元となっているE
L´も、同時に熱として放出されることになる。
 よって、残るE
C´は、その与えられた符号が示す通り、R´から余分に放出されたエネルギーの損失分を取り戻すための、マイナスのエネルギーでなければならない。つまり、放出に対する「吸収」である。そこで、C´では、「静電エネルギーの吸収現象」が起こる、と考えられるのである。


 7) 物体が溶融・浮上する原因

 ハチソン効果における、物体同士が溶融するという特異な現象は、このエネルギーの吸収が原因であろうと考えられる(ただし、分子同士の結合に対してどのような影響を具体的に生じさせるかということについては、まだ詳しいことは分かっていない)。
 ではなぜ、ハチソン氏の装置でそのような現象が偶然起こってしまったのか?その理由は、これまでの計算結果から、次のように考えることができる。

 電力を無線送電する設備の場合、テスラコイルの構造上、二次コイルの一端は接地されるので、コンデンサの内部に当たる空間は、二次コイルに取り付けられた金属球が単極のキャパシターとなっているはずなので、この金属球と床の間がその空間に相当し、また、接地された床の巨大な絶縁抵抗がR´の役目を果たした、と考えることができる。
 昇圧を目的とするテスラコイルでは、L´/C´の比の値は大きくなるので、それに見合う抵抗R´の値もまた、大きくなければならない。
 ところが、接地された床の絶縁抵抗は、基本的にそれに合うほど大きなものである。また、実験目的によるニーズとして、二次コイルのインダクタンスは非常に大きく、且つ金属球の静電容量は非常に小さい。
 結果として、「床と金属球に挟まれた領域のコンデンサとしての静電容量」と「床の絶縁抵抗」、そして「二次コイルの巨大なインダクタンス」の三つの要素が、極めて低い確率でありながら、求められるL´、C´、R´の満たすべき関係(条件1)を満たし、また実験の目的も、それらを満たしやすい条件下で行われるものであったという偶然が更に重なり、この現象を引き起こしたと推測される。


 では次に、正弦波形を発生することを目的としていたのに、なぜこのような虚の振動数を持つ自然対数的な減少曲線を描く電圧が一次回路(LCR部分)に生じてしまったのかというと、巨大なエネルギーを送電しようとする場合、自ずから一次回路のコンデンサCの容量を大きくせざるを得ない状況になる。すると、一次コイルのインダクタンスが小さいため、実質一次コイル側の共振回路では、L/Cの比が極端に小さな値となり、短い配線であるにも関わらず、火花ギャップを含めた一次回路中の僅かな抵抗値が、R=2・(L/C)*(1/2)よりも大きくなるという偶然の発生する可能性が非常に高くなるのである。
 
これらの偶然が幾つも重なり、ハチソン効果は発生した、というのが、ここでの結論である。条件1を満たすテスラコイルを作成し、実験を行えば、空間を誘電体にしたC´の内部で、ハチソン効果を再現できるかもしれない。
 また、物体が浮上する現象については、ビーフェルド・ブラウン効果が発生した、と考えるのが妥当であろう。勾配のある電場中に誘電体を置き、その電場の向きを変えないように時間変化させて仕事をさせると、電場の勾配による誘電体の両面での静電気力の差に従って電場が仕事をし、誘電体を運ぶ現象が起こる(この現象の詳しい内容については、専門書を参照されてください)。
 以上が、この計算結果から推測されるハチソン効果の発生原理の説明である。



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