数学関連


初等整数論の初歩
初等整数論の初歩を解説しました。
高校の教科書の「整数の性質」には,証明がきちんと書かれていないので,それを埋めるもので,大学入試問題は扱っていませんが,大学入試問題を深く理解す るための基盤となるものです。
主に,高木貞治先生の「初等整数論講義」の第1章の前半部分を参考にして,証明を丁寧に書いたつもりでいます。
また, 初等整数論の応用として,RSA暗号についても解説しています。
校正が十分でないため,間違いや誤植が多いかもしれませんが,見つかり次第に直すつもりですので,ご容赦ください。
フィボナッチ数列9999
問題 1
a1=1,a2=1,an+2=an+1+an  で定義されるフィボナッチ数列
    1,1,2,3,5,8,13,21,……
の項の中に,下4桁が9999となるものが存在することを示しなさい。
一般に,nを任意の自然数として,下n桁がすべて9になる項が存在します。

問題 2
第n項には,1がn個並ぶ数列
   1,11,111,1111,11111,……
を考えます。この数列の項の中に,2の倍数と5の倍数は存在しません。
しかしながら
    111は3の倍数,111111は7の倍数,11は11の倍数,111111は13の倍数,1111111111111111は17の倍数,……
などとなります。
一般に,2,5以外の素数について,この数列の項の中に,その素数で割り切れるものが存在します。
さらに一般化すると,「自然数nが素因数に2と5を含まなければ,この数列の項の中に,nで割り切れるものが存在する。」となります。このことを示してく ださい。
なお,次の数は素数です。1が並ぶ素数は他にも存在するようです。
 11
 1111111111111111111
 11111111111111111111111
 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

問題1は解答を付けましたが,問題2は解答を付けません。問題1の解答を参考にして考えてみて下さい。問題2には,問題1と同様に鳩ノ巣原理を用いる証明 の他に,初等整数論のオイラーの定理を用いる証明があります。
13枚の金貨
金貨が13枚あって,その中に1枚だけ重さが違う偽金貨がある。偽金貨は,本物より重いか軽いか分からない。その偽金貨を,天秤 を3回だけ使って見つけよ。ただし,偽金貨が本物より重いか軽いかを見分けなくて良いものとする。
上記の問題を一般化して,(3n
-1)/2枚のとき,天秤をn回だけ使って見つける証明ができたので掲載します。
3次方程式の解の公式
3次方程式の解の公式で,カルダノの解法と若干異なる解法を紹介します。

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