π/4の逆正接公式 (Machin-like formula)



最良のπ/4の逆正接公式

次の,π/4の逆正接関数の新しい4項公式を,コンピュータによる探索により発見しました。(2013年11月)
    π/4=16arctan(1/21)+3arctan(1/239)+4arctan(1/347)-4arctan(1/361577)
 松元隆二氏による,円周率を計算するときの計算時間の判定法
    「arctan(1/x)をテーラー展開で計算したとき,10000桁の精度を得るために必要な項数」
により,「項数」を求めると
    5000*(1/LOG10(21)+1/LOG10(239)+1/LOG10(347)+1/LOG10(361577))≒8752
となります。
なお,後から気が付いたことですが,この公式は高野喜久雄氏の公式
    π/4=16arctan(1/21)+3arctan(1/239)+4arctan(1/421)+4arctan(1/1985)
から導くことができます。すなわち,加法定理より
    arctan(1/x)+arctan(1/y)=arctan((x+y)/(xy-1)) …①
が成り立ちますから
    arctan(m/n)=arctan(1/x)+arctan(1/y) ⇔ (mx-n)(my-n)=m^2+n^2 …②
です。②を用いて arctan(1/421)+arctan(1/1985)=arctan(3/1042) を変形すれば,arctan(3/1042) は
arctan(1/251)-arctan(1/905)
arctan(1/343)-arctan(1/27493)
arctan(1/347)-arctan(1/361577)
arctan(1/353)+arctan(1/21637)
arctan(1/421)+arctan(1/1985)
と分解でき,高野喜久雄氏の公式など,5つの公式がいわば「兄弟公式」 であることが分かります。
同様に既存の公式を①,②を用いて変形して,より収束が速い公式を作ることが可能です。
柴田昭彦氏の公式(http://www5f.biglobe.ne.jp/~tsuushin/sub1d.html)
    π/4=12arctan(1/15)-arctan(1/239)-4arctan(1/580)-4arctan(1/1710)
の,arctan(1/580)+arctan(1/1710)=arctan(10/4331) に②を用いて
    π/4=12arctan(1/15)-arctan(1/239)-4arctan(1/433)+4arctan(1/1875333)
を導きました。 この公式の「項数」は9047です。
公式の証明 arctan.pdf
しかし,残念ながら海外サイトの http://www.machination.eclipse.co.uk/index.html (Michael Roby Wetherfield & Hwang Chien-lih) に,これらの公式が既に記載されていました。

その後, 松元隆二氏の公式から,次の最良の6項公式を導きました。これは,上記のサイトにもなく,私 が調べた範囲では,分子が1であるものでは,「項数」が6646で最小の公式です。
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/42483057)+34arctan(1/7939642926390344818)
また, 松元隆二氏の公式から,次の最良の5項公式を導きました。
    π/4=24arctan(1/31)+3arctan(1/239)-16arctan(1/14942)-4arctan(1/474193)-4arctan(1/7250363755)
なお, 松元隆二氏の公式は,http://www.pluto.ai.kyutech.ac.jp/~matumoto/syumi.html#pi にあります。

また,円周率を求める新方式の逆正接の公式を考え,項の数を制限しなければ 「項数」がいくらでも0に近い(小さい)公式が存在することを示しました。
この定理に基づき,「項数」が5460で世界最小の14項の公式を導きました。ただし,項の数が増えて分母が巨大になると,同じ「項 数」でも計算量は増大すると考えられるため,最速の公式とは言えません。
    π/4=22arctan(1/28) +arctan(1/56547)+arctan(1/20747394343)+arctan(1/1112172624652580034840)-arctan(1/16659543628852678157467292276729792021493732)+……    data28.txt

また,正 計算と検証計算のペア公式として,効率が良いものを見つけましたが,ほとんどがM.R.Wetherfieldのウェブページに既にありました。 なお,分子が1でない次の計6項のペアが速いのではないかと思われま す。
    π/4=183arctan(1/239)+64arctan(1/1710)-100arctan(46/268043)-32arctan(3/145589)+12arctan(303/34245479)
    π/4=177arctan(1/239)+106arctan(1/1710)-94arctan(46/268043)-50arctan(3/145589)-12arctan(2/2513489)

項の数ごとの最良なπ/4の公式を列挙すると,次のようになります。
               発見者       「項数」    公式
2項公式    Machin        9256    4arctan(1/5)-arctan(1/239)
3項公式    Gauss         8933    12arctan(1/18)+8arctan(1/57)-5arctan(1/239)
4項公式    Størmer      7930    44arctan(1/57)+7arctan(1/239)-12arctan(1/682)+24arctan(1/12943)
5項公式    清宮           8041    24arctan(1/31)+3arctan(1/239)-16arctan(1/14942)-4arctan(1/474193)-4arctan(1/7250363755)
6項公式    清宮           6646    83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/42483057)+34arctan(1/7939642926390344818)
7 項公式   Wetherfield  6704    83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103697)-24arctan(1/2513489)-44arctan(1/18280007883)+12arctan(1/7939642926390344818)+22arctan(1/3054211727257704725384731479018)
8項公式    清宮           6047    22arctan(1/28)+arctan(1/10812186007)+2(arctan(1/113091)-arctan(1/3895518568)+arctan(1/629300100535257682)+arctan(1/3908794630494399376312997032077)
+arctan(1/2826309607900568565641613414850546664107508798258619099)-arctan(1/9355551928344973308672677302161189493689419576030500548470229574122617811231223535344986234612178957369478))
9項公式    清宮           5839    22arctan(1/28)-arctan(1/10812186007)+2(arctan(1/113093)-arctan(1/127512137874)+arctan(1/39607459902580216106307)-arctan(1/7061522233235689255725231071663715115695328)
+arctan(1/10486631320854991392232831568340090082541694282525351757667059391809990997765309021)
+arctan(1/82196950554656533128604331781786647724535745427534755760994665875961196200941351390954750726224418488112109444583799954171398373336018851114123630259983350135006)
-arctan(1/1044329610045537687475273636184832970888152768287756220414845677774687731484005759572818119800312941679867142823730101516247129424982871583369968696900268745881658491626530063322540026176621137187443783573859683152055203326676189543778576923410372296918643698117712725294398219743005667378690081906177663821783157922943))

  公式の発見には,白石和夫先生の十進BASICの有理数モードを使用しました。
      発見者,発見年などは, 松元隆二氏,柴田昭彦氏,M.R.Wetherfield,Wikipediaなどのウェブページなどを参考にしました。
      πの計算時間については,https://en.wikipedia.org/wiki/Machin-like_formula のEfficiencyの節とそれについてのTalkが参考になるのではないかと思われます。
重要な恒等式
任意のnについて次の等式が成り立ちます。
    arctan(1/n)=2arctan(1/2n)-arctan(1/(4n^3+3n)) …③
だだし,恒等式③を用いて1つの項を2つの項に分解すると,n≦6では「項数」は減少しますが,n≧7では「項数」は増加してしまいます。
また,n=60のときに「項数」の増加量は最大で,n≧60ではnが大きくなるにつれて「項数」の増加量は減少 し, n→∞ のとき増加量→0となります。
恒等式③を公式の最後の項に適用することにより,公式は無数に作れることが分かります。③を用いて作られる公式を,元の公式から導かれる自明な公式と呼ぶことにします。

分子が2の項の分解公式

恒等式③においてnをn/2に置き換えれば,次の恒等式が得られ,分子が2の項は,分子が1の項2つに分解できます。
    arctan(2/n)=2arctan(1/n)-arctan(2/(n^3+3n)) …④
この恒等式においてnは奇数ですから,n^3+3nは偶数となり,2/(n^3 +3n)の分子は約分されて1になります。

2項公式
次のJohn Machinの公式が最良で,「項数」は9256で す。
    π/4=4arctan(1/5)-arctan(1/239)
2項公式は4つしかないことが知られていて,残りの3つは次のものです。
    π/4=arctan(1/2)+arctan(1/3)
    π/4=2arctan(1/2)-arctan(1/7)
    π/4=2arctan(1/3)+arctan(1/7)
ただし,
    2arctan(1/3)+arctan(1/7)=2{arctan(1/2)+arctan(1/3)}-{2arctan(1/2)-arctan(1/7)}
が成り立ちますから,独立な公式は3つしかありません。

3項公式
次の,Karl Friedrich Gauss(ガウス)の公式が最良であり,「項数」は8933です。
    π/4=12arctan(1/18)+8arctan(1/57)-5arctan(1/239)
また,John Machinの公式の arctan(1/5) に恒等式③を用いると,次のRobert Simsonの公式 が得られ, 「項数」は減少して8946です。
    π/4=8arctan(1/10)-arctan(1/239)-4arctan(1/515)
Simsonの公式は,Machinの公式より数十年後に発見されていますから.恒等式③はMachinが活躍した頃には発見されていなかったこととな り,恒等式③をいつ,だれが発見したのかという疑問 が生じます。

4項公式
 ガウスによる3項公式よりも「項数」が少ないのは上位5 公式だけです。

                                         π/4の4項公式
 項数
     発見者 発見年
44arctan(1/57)+7arctan(1/239)-12arctan(1/682)+24arctan(1/12943)  7930 F.C.M.Størmer
 1896
22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1393)-10arctan(1/11018)
 8172 E.B.Escott
 1896
17arctan(1/23)+8arctan(1/182)+10arctan(1/5118)+5arctan(1/6072)  8554 Jörg Arndt  1993
16arctan(1/21)+3arctan(1/239)+4arctan(1/347)-4arctan(1/361577)
 8752 M.R.Wetherfield  1980
12arctan(1/49)+32arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/110443)  8900 高野喜久雄  1982
16arctan(1/21)+3arctan(1/239)+4arctan(1/343)-4arctan(1/27493)  8982 松元隆二  1996
16arctan(1/21)+3arctan(1/239)+4arctan(1/353)+4arctan(1/21637)  9000 松元隆二  1996
12arctan(1/15)-arctan(1/239)-4arctan(1/433)+4arctan(1/1875333)  9047 Castellanos
 1988
17arctan(1/22)+3arctan(1/172)-2arctan(1/682)-7arctan(1/5357)
 9067 M.R.Wetherfield
 1980

5項公式
F.C.M.Størmerの4項公式より遅いものしか見つかっていないようです。
発見者が空白のものは,他の公式から導いたものです。
4項公式から導いた公式で,元の4項公式より「項数」が大きいものも掲載していますが,それらは掲載の意味がないかもしれません。
また,①,②を用いることにより同時に導かれる公式で「項数」が大きいものは,発見していても発表していない可能性が大きいと思われます。

                                         π/4の5項公式
 項数
 発見者 発見年
24arctan(1/31)+3arctan(1/239)-16arctan(1/14942)-4arctan(1/474193)-4arctan(1/7250363755)
 8041
 2015
22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1112)-5arctan(1/8637069)+5arctan(1/133280317780182)
 8061 A.S.Nimbran
 2009
24arctan(1/31)+3arctan(1/239)-16arctan(1/14942)-8arctan(1/963375)-4arctan(1/30349818)
 8157 松元隆二  2014
22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1112)-5arctan(1/8638168)-5arctan(1/67922179193)
 8168
 2015
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(1/812852)+12arctan(1/1453603235443)
 8174 H.Chien-lih
 1995
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(1/812857)-12arctan(1/145361217682)
 8211
 2014
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+24arctan(1/693)-12arctan(1/73122)-12arctan(1/28872792057)
 8216
 2015
19arctan(1/24)-4arctan(1/882)-9arctan(1/6948)+arctan(1/50912)+arctan(1/983133543)
 8240 H.Chien-lih
 2004
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(1/812882)-12arctan(1/22363952057)
 8246
 2014
19arctan(1/24)-4arctan(1/882)-9arctan(1/6948)+arctan(1/50906)-arctan(1/770473317)  8247
 2014
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(1/812894)-12arctan(1/15904577057)
 8253
 2014
22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1113)-5arctan(1/1082543)-5arctan(1/133759658193)
 8264
 2015
44arctan(1/109)+95arctan(1/239)-12arctan(1/682)+24arctan(1/12943)-44arctan(1/6826318)
 8268 Jörg Arndt  1993
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(1/812732)+12arctan(1/5484485443)
 8277
 2014
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+24arctan(1/693)-12arctan(1/73126)-12arctan(1/1277627057)
 8287
 2015

導出法
最良の公式は,松元隆二氏の5項公式から,次の式を用いて導けます。
    2arctan(1/963375)+arctan(1/30349818)=arctan(262/124230441)=arctan(1/474193)+arctan(1/7250363755)
2番目のものはE.B.Escott の4項公式から導けます。
     π/4=22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1393)-10arctan(1/11018)
       =22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(3919/4357367)
       =22arctan(1/28)+2arctan(1/443)--5arctan(1/1112)-5arctan(561/4845396023)
        =22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1112)-5arctan(1/8637069)+5arctan(1/133280317780182)
同様にして
    π/4=22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1113)-5arctan(1/1082543)-5arctan(1/133759658193)
    π/4=22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1114)-5arctan(1/577945)-5arctan(1/56907157318)    項数8318
    π/4=22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1113)-5arctan(1/1085193)-5arctan(1/441844343)    項数8392
などが導けます。また,同じ手法をJörg Arndtの4項公式に用いると
    π/4=17arctan(1/23)+8arctan(1/182)+5arctan(1/1800)-5arctan(1/11431805)-5arctan(1/88767950079307)    項数8487
などたくさんの公式を導くことができます。
また, 高野喜久雄氏の4項公式
    π/4=24arctan(1/53)+20arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/4443)
を変形すると
    π/4=44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/4443)+24{arctan(1/53)-arctan(1/57)}
         =44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/4443)+24arctan(2/1511)
         =44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(369/128467)
となり,この式のarctan(369/128467)において,369/128467が1/348に近いことから,
    arctan (369/128467)=arctan(1/348)-arctan(11/8941377)
と変形でき,さらに arctan(11/8941377) に②を用いて
    π/4=44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(1/812852)+12arctan(1/1453603235443)
    π/4=44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(1/812857)-12arctan(1/145361217682)
など,他にもたくさんの5項公式が導けます。
また,
    arctan(369/128467)=2arctan(1/693)-arctan(27/1974289)
と変形でき,さらに arctan(27/1974289) に②を用いて
    π/4=44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+24arctan(1/693)-12arctan(1/73122)-12arctan(1/28872792057)
など,他にもたくさんの5項公式が導けます。
また,arctan(2/1511)に④を用いると,公式
    π/4=44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+48arctan(1/1511)+12arctan(1/4443)-24arctan(1/1724900182) 項数8435
も導けます。

松元隆二氏の5項公式
    π/4=19arctan(1/24)-4arctan(1/882)-9arctan(1/6948)+arctan(1/43691)-arctan(1/308142)
において
    arctan(1/43691)-arctan(1/308142)=arctan(11/560003)
ここで,arctan(11/560003)は②を用いて次の様に分 解でき,合計8個の「兄弟公式」があります。
arctan(1/43691)-arctan(1/308142)
arctan(1/47867)-arctan(1/800982)
arctan(1/50883)-arctan(1/98257354)
arctan(1/50906)-arctan(1/770473317)
arctan(1/50912)+arctan(1/983133543)
arctan(1/50943)+arctan(1/77103332)
arctan(1/54791)+arctan(1/718608)
arctan(1/60119)+arctan(1/332328)

 F.C.M.Størmerの最良の4項公式の最後の項 に, 恒等式③を用いると,次の自明な5項公式が得られま すが,「項数」は元より増加し8234となります。
    π/4=44arctan(1/57)+7arctan(1/239)-12arctan(1/682)+48arctan(1/25886)-24arctan(1/8672910142057)
同様にして,他の高速な4項公式に対しても,恒等式③を用いれば,5項公式が得られますのが,それらは,元の公式より「項数」が増加してしまいます。

 arctan(11/8941377) は次の様に分解できます。
arctan(1/97232)-arctan(1/110443)
arctan(1/303932)-arctan(1/485443)
arctan(1/436432)-arctan(1/942443)
arctan(1/702757)-arctan(1/5188568)
arctan(1/734557)-arctan(1/7626068)
arctan(1/810152)-arctan(1/243860443)
arctan(1/810932)-arctan(1/343235443)
arctan(1/811432)-arctan(1/464340443)
arctan(1/812437)-arctan(1/1589563568)
arctan(1/812557)-arctan(1/2235501068)
arctan(1/812732)-arctan(1/5484485443)
arctan(1/812852)-arctan(1/1453603235443)
arctan(1/812857)+arctan(1/145361217682)
arctan(1/812882)+arctan(1/22363952057)
arctan(1/812894)+arctan(1/15904577057)
arctan(1/814057)+arctan(1/549342682)
arctan(1/814481)+arctan(1/406530182)
arctan(1/820682)+arctan(1/85202057)
arctan(1/823862)+arctan(1/60827057)
arctan(1/827057)+arctan(1/47328182)
arctan(1/832057)+arctan(1/35217682)
arctan(1/839857)+arctan(1/25280182)
arctan(1/905182)+arctan(1/7969057)
arctan(1/942682)+arctan(1/5902057)
arctan(1/988382)+arctan(1/4577057)

 arctan(27/1974289)は次の様に分解できま す。
arctan(1/37757)-arctan(1/78068)
arctan(1/66432)-arctan(1/726123)
arctan(1/71557)-arctan(1/3343768)
arctan(1/72909)-arctan(1/25051068)
arctan(1/73013)-arctan(1/49063568)
arctan(1/73117)-arctan(1/1110416068)
arctan(1/73122)+arctan(1/28872792057)
arctan(1/73126)+arctan(1/1277627057)
arctan(1/73130)+arctan(1/653302057)
arctan(1/73182)+arctan(1/88912257)
arctan(1/73657)+arctan(1/10063682)
arctan(1/74482)+arctan(1/4004057)
arctan(1/75782)+arctan(1/2083057)
arctan(1/77057)+arctan(1/1431838)
arctan(1/85217)+arctan(1/515182)
arctan(1/92682)+arctan(1/346473)
arctan(1/103862)+arctan(1/247057)
arctan(1/133242)+arctan(1/162057)

6項公式
私の確認した限りでは,上位8つは次のもので,「項数」6781と6796のものは既にMichael Roby Wetherfieldが発見していたようです。
特に,「項数」6646の世界最良のものは未発見だったようです。 (2015年11月23日)
私が調べた範囲では,分子が1であるものでは,この公式が「項数」が最小の arctan系の公式です。

                                                                   π/4の6項公式
 項数
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/42483057)+34arctan(1/7939642926390344818)
 6646
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/105218)-24arctan(1/2513489)-22arctan(1/7167807)+12arctan(1/7939642926390344818)
 6781
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/110443)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/4841182)+34arctan(1/7939642926390344818)
 6796
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-34arctan(1/1256745)+22arctan(1/42483057)-34arctan(1/3158814733307)
 6820
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-34arctan(1/1256744)+22arctan(1/42483057)+34arctan(1/3158812219818)
 6820
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/88272)+22arctan(1/593461)-24arctan(1/2513489)+12arctan(1/7939642926390344818)
 6933
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/105218)-12arctan(1/1256745)-22arctan(1/7167807)-12arctan(1/3158814733307)
 6955
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/105218)-12arctan(1/1256744)-22arctan(1/7167807)+12arctan(1/3158812219818)
 6955
なお,「項数」6955の2つは,松元氏のご指摘により誤植があることが判明したため,2016年9月27日に訂正しました。

導出法
松元氏が発見した6項公式
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-34arctan(1/1258307)+22arctan(1/42483057)-34arctan(1/1012077057)
の arctan(1/1258307)+arctan(1/1012077057)=arctan(2/2513489) に恒等式④を用いると
    arctan(2/2513489)=2arctan(1/2513489)-arctan(1/7939642926390344818)
と分解でき,次の世界最良の6項公式が得られます。
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/42483057)+34arctan(1/7939642926390344818)
また,arctan(1/1258307)+arctan(1/1012077057)=arctan(2/2513489) に②を用いると,たくさんの公式が得られます。上位2つは次のものです。
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-34arctan(1/1256745)+22arctan(1/42483057)-34arctan(1/3158814733307)
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-34arctan(1/1256744)+22arctan(1/42483057)+34arctan(1/3158812219818)

同様に,松元氏の発見した6項公式
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/105218)-12arctan(1/1258307)-22arctan(1/7167807)-12arctan(1/1012077057)
の arctan(1/1258307)+arctan(1/1012077057) =arctan(2/2513489) に②を用いても,たくさんの公式が得られます。また,arctan(2/2513489)に④を用いると,「項数」6781のMichael Roby Wetherfieldの公式が得られます。

Michael Roby Wetherfield & Hwang Chien-lih にある公式
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103697)-12arctan(2/2513489)-22arctan(2/18280007883)
が分子が2の公式では最良なようです。分子が2の項は,恒等式④により
   arctan(2/2513489)=2arctan(1/2513489)-arctan(1/7939642926390344818)
   arctan(2/18280007883)=2arctan(1/18280007883)-arctan(1/3054211727257704725384731479018)
と変形でき,
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103697)-24arctan(1/2513489)-44arctan(1/18280007883)+12arctan(1/7939642926390344818)+22arctan(1/3054211727257704725384731479018)
が得られます。この7項公式の「項数」は6704です。
また, arctan(1/103697)+arctan(2/18280007883)=arctan(17/1762829) に②を用いると,6項公式
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/105218)-24arctan(1/2513489)-22arctan(1/7167807)+12arctan(1/7939642926390344818)
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/88272)+22arctan(1/593461)-24arctan(1/2513489)+12arctan(1/7939642926390344818)
が導けます。

Michael Roby Wetherfield & Hwang Chien-lih にある公式
   π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/110443)-34arctan(2/2513489)+22arctan(1/4841182)
を公式④により変形すれば,「項数」6796の公式が得られます。

等式
    arctan(1/110443)-arctan(1/4841182)=arctan(303/34245479)=2arctan(1/225443)-arctan(1/42483057) …⑤
が成り立ち,これにより,約150の「項数」を削減できます。例えば 黄見利の公式
    π/4=183arctan(1/239)+32arctan(1/1023)-68arctan(1/5832)+12arctan(1/110443)-12arctan(1/4841182)-100arctan(1/6826318)
に⑤を用いると
    π/4=183arctan(1/239)+32arctan(1/1023)-68arctan(1/5832)+24arctan(1/225443)-100arctan(1/6826318)-12arctan(1/42483057)
が得られ,「項数」は7412です。
また,Amrik Singh Nimbran の公式
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/4443)+34arctan(1/5726)-5arctan(1/110443)+5arctan(1/4841182)-34arctan(1/1737720807)
  に⑤を用いると
    pi/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/4443)+34arctan(1/5726)-10arctan(1/225443)+5arctan(1/42483057)-34arctan(1/1737720807)
が得られ,「項数」は7296です。
また,「項数」6796のMichael Roby Wetherfieldの6項公式に⑤を用いると,世界最良の6項公式が得られます。
19,454.33
 arctan(2/2513489)は次の様に分解できま す。
2arctan(1/2513489)-arctan(1/7939642926390344818)
arctan(1/280182)-arctan(1/360568)
arctan(1/373932)-arctan(1/532318)
arctan(1/898932)-arctan(1/3157318)
arctan(1/933282)-arctan(1/3626068)
arctan(1/1061432)-arctan(1/6829818)
arctan(1/1080182)-arctan(1/7688568)
arctan(1/1185182)-arctan(1/20813568)
arctan(1/1192052)-arctan(1/23157318)
arctan(1/1217682)-arctan(1/39176068)
arctan(1/1221432)-arctan(1/43469818)
arctan(1/1242432)-arctan(1/109094818)
arctan(1/1243806)-arctan(1/120813568)
arctan(1/1248932)-arctan(1/200907318)
arctan(1/1249682)-arctan(1/222376068)
arctan(1/1253882)-arctan(1/550501068)
arctan(1/1255182)-arctan(1/1009563568)
arctan(1/1255332)-arctan(1/1116907318)
arctan(1/1256172)-arctan(1/2757532318)
arctan(1/1256432)-arctan(1/5052844818)
arctan(1/1256462)-arctan(1/5589563568)
arctan(1/1256630)-arctan(1/13792688568)
arctan(1/1256682)-arctan(1/25269251068)
arctan(1/1256688)-arctan(1/27952844818)
arctan(1/1256732)-arctan(1/126351282318)
arctan(1/1256742)-arctan(1/631761438568)
arctan(1/1256744)-arctan(1/3158812219818)
arctan(1/1256745)+arctan(1/3158814733307)
arctan(1/1256747)+arctan(1/631763952057)
arctan(1/1256757)+arctan(1/126353795807)
arctan(1/1256801)+arctan(1/27955358307)
arctan(1/1256807)+arctan(1/25271764557)
arctan(1/1256859)+arctan(1/13795202057)
arctan(1/1257027)+arctan(1/5592077057)
arctan(1/1257057)+arctan(1/5055358307)
arctan(1/1257317)+arctan(1/2760045807)
arctan(1/1258157)+arctan(1/1119420807)
arctan(1/1258307)+arctan(1/1012077057)
arctan(1/1259607)+arctan(1/553014557)
arctan(1/1263807)+arctan(1/224889557)
arctan(1/1264557)+arctan(1/203420807)
arctan(1/1269683)+arctan(1/123327057)
arctan(1/1271057)+arctan(1/111608307)
arctan(1/1292057)+arctan(1/45983307)
arctan(1/1295807)+arctan(1/41689557)
arctan(1/1321437)+arctan(1/25670807)
arctan(1/1328307)+arctan(1/23327057)
arctan(1/1433307)+arctan(1/10202057)
arctan(1/1452057)+arctan(1/9343307)
arctan(1/1580207)+arctan(1/6139557)
arctan(1/1614557)+arctan(1/5670807)
arctan(1/2139557)+arctan(1/3045807)
arctan(1/2233307)+arctan(1/2874057)

7項公式
7項公式は,私の確認した限りでは最良の6項公式より遅いため,どこまで意味があるか疑問ですが,10個の公式を掲載します。(2015年11月~12 月)
これらは,6項公式を変形して得ら れるもので,他にもたくさんあります。なお,最良のものはMichael Roby Wetherfieldが発見しました。

                                                                   π/4の7項公式
 項数
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103697)-24arctan(1/2513489)-44arctan(1/18280007883)+12arctan(1/7939642926390344818)+22arctan(1/3054211727257704725384731479018)
 6704
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103696)-24arctan(1/2513489)-22arctan(1/60932772000)+12arctan(1/7939642926390344818)+22arctan(1/11138408110872884772003)
 6743
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103696)-24arctan(1/2513489)-22arctan(1/60932772001)+12arctan(1/7939642926390344818)-22arctan(1/5569204055527841544002)
 6747
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103696)-24arctan(1/2513489)-22arctan(1/60932772002)+12arctan(1/7939642926390344818)-22arctan(1/2227681622247696280801)  6751
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/113021)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/33366019650)+34arctan(1/7939642926390344818)-22arctan(1/43599522992503626068)
 6775
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103695)-24arctan(1/2513489)+22arctan(1/13056896655)+12arctan(1/7939642926390344818)-22arctan(1/1193377851828508219837)
 6784
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103699)-24arctan(1/2513489)-22arctan(1/3385251935)+12arctan(1/7939642926390344818)-22arctan(1/309418127908988342167)
 6822
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103698)-24arctan(1/2513489)-22arctan(1/4940590314)+12arctan(1/7939642926390344818)+22arctan(1/22028024592239441243)
 6827
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103693)-24arctan(1/2513489)+22arctan(1/3808188073)+12arctan(1/7939642926390344818)-22arctan(1/69611022720637564057)
 6827
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/113033)-68arctan(1/2513489)-22arctan(1/1099678758)+34arctan(1/7939642926390344818)-22arctan(1/85134253302968469818)
 6849

導出法
6 項公式    83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/105218)-24arctan(1/2513489)-22arctan(1/7167807)+12arctan(1/7939642926390344818)
においてarctan(1/105218)+arctan(1/7167807)=arctan(17/1762829) を3つに分解する等式はたくさんあり,上位4つを示すと
    =arctan(1/103697)+2arctan(1/18280007883)-arctan(1/3054211727257704725384731479018)
により約77
    =arctan(1/103696)+arctan(1/60932772000)-arctan(1/11138408110872884772003)
により約38
   =arctan(1/103696)+arctan(1/60932772001)+arctan(1/5569204055527841544002)
により約35
   =arctan(1/103696)+arctan(1/60932772002)+arctan(1/2227681622247696280801)
により約30の「項数」を削減できます。

また,6項公式    83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/110443)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/4841182)+34arctan(1/7939642926390344818)
に対し,次の等式 により約20の「項数」を削減できます。
    arctan(1/110443)-arctan(1/4841182)=arctan(303/34245479)=arctan(1/113021)-arctan(1/33366019650)+arctan(1/43599522992503626068)

註1 世界最良の6項公式に, 恒等式③を用いれば,次の「項数」が6728.7…の自明な7項公式 が得られます。
    83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/42483057)+68arctan(1/15879285852780689636)-34arctan(1/2001994613678354896260473080240048507073548373974000280182)…⑥

註2 整理すると,次のようになります。
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(17/1762829)-12arctan(2/2513489)
において
    arctan(17/1762829)=arctan(303/34245479)+arctan(2/2513489)
が成り立つので
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(303/34245479)-34arctan(2/2513489)
分子が1でない項は次のように分解できます。
    arctan(17/1762829)=arctan(1/105218)+arctan(1/7167807)=arctan(1/103696)+arctan(1/60932772000)-arctan(1/11138408110872884772003)
    arctan(17/1762829)=arctan(1/103697)+arctan(2/2513489)=arctan(1/103697)+2arctan(1/18280007883)-arctan(1/3054211727257704725384731479018)
    arctan(303/34245479)=arctan(1/110443)-arctan(1/4841182) =2arctan(1/225443)-arctan(1/42483057)=arctan(1/113021)-arctan(1/33366019650)+arctan(1/43599522992503626068)
    arctan(2/2513489)=2arctan(1/2513489)-arctan(1/7939642926390344818)

公式についての定理
定理
「項数」6773未満の公式が無数に存在する。
証明
 自明な7項公式⑥の最後の項に恒等式③を用いて,自明な8項公式を作る。さら に,得られた8項公式の最後の項に③を用いて自明な9項公式を作る。これを繰り返すことを考える。
このとき,arctan(1/n)=2arctan(1/2n)-arctan(1/(4n^3+3n)) において,
    5000*(1/LOG10(2n)+1/LOG10(4n^3+3n)-1/LOG10(n))<5000*(1/LOG10(n)+1/LOG10 (n^3)-1/LOG10(n))=5000/(3LOG10(n))
ここで,n=2001994613678354896260473080240048507073548373974000280182 のとき
    5000/(3LOG10(n))=29.08…
すなわち,7項公式から8項公式を作るとき,「項数」の増加量は 5000/(3LOG10(n)) 未満である。
さらに,このようにして作った8項公式の最後の項において 4n^3+3n>n^3 であるから,8項公式から9項公式を作るときの「項数」の増加量は5000/(3LOG10(n))/3 未満に抑えられる。
したがって,8項公式,9項公式,10項,……と公式を次々に作っていくとき,「項数」の増加量は,等比数列の和の公式を用いて
    5000/(3LOG10(n))×(1+1/3+1/9+……)=5000/(3LOG10(n))×1/(1-1/3)=2500/(LOG10 (n))=43.6…
未満である。ゆえに,次々に作られるどの自明な公式の「項数」は
    6728.7…+43.6…<6773
と抑えられる。
したがって,「項数」6773未満の公式が無数に存在する。

 正確に計算すると,「項数」は6771.7未満となります。

円周率を求め る新方式の逆正接の公式
arctan(1)を分解する定理が成り立ち,そのような公式を求めるアルゴリズムが存在します。

arctan(k/(kn+m))-arctan(1/n)=arctan((k/(kn+m)-1/n)/(1+k/(kn+m)・1/n))= arctan(-m/(k・n^2+mn+k)) より,次の公式が得られる。
     arctan(k/(kn+m)) =arctan(1/n)-arctan(m/(k・n^2+mn+k))
分解定理
    特に,k,nを1でない自然数,mを -k/2≦m≦k/2 を満たす整数としてこの公式を繰り返し用いると,遂には分子が1になるから,任意の項が分子が1の項の和に分解できる。
    (0≦m<k としても良いが,分解したときに項の数が多くなる。)

  arctan(2/(2n+1))=arctan(1/n)-arctan(1/(2n^2+n+2))
      arctan(3/(3n±1))=arctan(1/n)∓arctan(1/(3n^2±n+3))     (復号同順)
      arctan(7/25)=arctan(7/(7・4-3))=arctan(1/4)+arctan(3/(7・4^2-3・4+7))= arctan(1/4)+arctan(3/107)=arctan(1/4)+arctan(3/(3・36-1))=arctan(1/4)+ arctan(1/36)+arctan(3/(3・36^2-36+3))=arctan(1/4)+arctan(1/36)+arctan (1/3855)

さらに,arctan(1)-m×arctan(1/n) の値がいくらでも0に近いような自然数m,nが存在し,かつ,s,tを自然数としてarctan(1)-m×arctan(1/n)=arctan (s/t) と表されることより,次の定理が成り立ちます。

定理    「項数」がいくらでも0に近い(小さい)公式 が存在する。

実際に,この定理を用いてπ/4の公式を導きました。
ただし,「項数」が小さな公式を求めようとすると,項の数が多くなり,項の分母の桁数が2倍,2倍……と大きくなるため,分母が巨大な整数になってしま い,最後まで分解することは不可能です。
また,世界記録に挑戦するときの計算法(分割有理数化法)では,「項数」が同じでも項の数が多くなって分母が巨大になれば合計の計算量は増大するため, 「項数」は計算速度の指標とはなりません。
なお.下記の例は, 「項数」よりも項の数が出来る限り少ないものを選びました。項の数が多いので,他に「項 数」がほぼ等しい沢山の兄弟公式があり,項の数が多くて良いのならば「項数」がより少ないものもあります。

例1
   arctan(1)-11arctan(1/14) =arctan(5984041155/5889508020409)
        が成り立ち,分解により次のような7項公式が得られ,「項数」は7475です。
π/4=11arctan(1/14)
+arctan(1/984)
-arctan(1/4783464)
+arctan(1/28639352912923)
+arctan(1/186175866756211806588089288)
-arctan(1/2103217884802619596212330142227649062114903902506875192253)
+arctan(1/932526991174003265598535031975584917413629275661541490381224915116428693928576928483478183040730179115518295394547)
また,次のような8項公式も得られ,「項数」は7466です。
π/4=11arctan(1/14)
+arctan(1/984)
-arctan(1/4783465)
-arctan(1/113812563600136)
-arctan(1/28234380329157461108325915698)
-arctan(1/5384769390251046090811817506459762283920625341105588544516) 
+arctan(1/51606142936505007297938587328675455731066404605899882715290485343039739582429000290095411998188757248835925053588)
-arctan(1/237423404407522624650542726538377388688437866964378268994604990882708824937244853278275380452056198590543964309734066678558508005908705570943352978468546695071300321346184166370015514897165816070399673662935097845757944602756)

例2   arctan(1)-22arctan(1/28) =arctan(1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239)
       が 成り立ち,分解により次のような14項公式が得られます。分子が1の公式では,「項数」は5460で世界最小です が、項の数が多く分母 が巨大になるため,最速の公式とは言えません。(2016年8月20日に項の数を減らして14項公式に改良)
π/4=22arctan(1/28)
+arctan(1/56547)
+arctan(1/20747394343)
+arctan(1/1112172624652580034840)
-arctan(1/16659543628852678157467292276729792021493732)+……    data28.txt

 また,次のような「項数」が5563の13項公式も得られます。(最後の項は,恒等式④を用いると2項に分解できます。 2017年1月1日)
π/4=22arctan(1/28)
+arctan(1/56547)
+arctan(1/20747397682)
+arctan(1/128902231529942862)
+arctan(1/155663516564154499911365810670807)
-arctan(1/8338038108172530710446775472537492112028238331089094453077693)
+arctan(1/480467391576046702900994839166069253959268551108072843002256824602973993945345278133507130619187402250695582961216184580)
-arctan(1/18934433146039841630930601625313796066262308208601115961164519184959777532171904331563854026961431882273993583034797470487272361727977839223664548450062835740792327043414576730598994636681210403719137232364762461201694211856300385049717943)
+arctan(1/688786284982127797814497338399438902350888715233129410511112147651796827768280567114977611214779249836225220518264727673689730186556167438378420835643208427010233618768998116644185772526493478281123649253364764093886980887091121258177133991449690993256287580965225629644681848371671327348189247506585464875278579928099614126423061663863636871939108242796821705188033651070997463884150266789100471340928625307900701909683225641437185244864838123491041969013239555628123109841)
+arctan(1/1305301797503526321387003220042262630743931062112880762288429167428593135208633907167706273850594221716644461747700117445246698179917454480952611177711085993751502587742594609451330993971876971231862940662990695430897380123661580132524442260487176148882873989085586537933048172219230924467077652737154885260696627027660314102427318339149033781717248915266526583265750671714911455854086328198642241033515294155727316079255011240743198884882962183030284454445990902450368776402969918116327107140624701397426560145060029223380901541070250335765270136545252353195208974676876056738949372921055073474679546598948205308411735010889638886189439776394269887310879616928492464523059320003802303896436039356887438357870848696537545567030024561499257455808288013302154488944070361593956470056201449486687768621472884493927736286806883474155633813584655331074569406286637660735752411203031980654976086068346292821148242064851392964852130651763091069371763982)
-arctan(1/473436305894795529338853492025520650562873792141124102869488264818803490947085418477010968859559025431781781161180971278542708890974125561432395601721049614342391076296645591577224030307463976310485077916942565859736604853350599639992616509344713017524552249868982495092044210485861640588184503582963678330066139619487118912496615428149482865054681627166902860265209443701459641220352573337493047818142857869987423813502566236509488558285072480625228720573049843356054048030762955460956233248866123977854561352773247280172526893887640155361600104891554867516890299110960850932769109898871403496590118872012895890131015059229057898753704452521856321121282830897552008135080021132320445270494631325658766083015877722880855390495672246082102250266762789396234055594486233023838129050065909694468033238815242140467631085809654094544768715479481994439357412598841129644659079743486061644774359793086501548253644199465272457535523482112216151095537565188443573064263244482769749705552153377101126176703971171041404162271276604373453923563973164278764944479577394934509866558607075804266462754038642644760157492548943425928896825515351571153210136652069020758579001611270068013835186740411258608033595535611441322212326982787291010174226018969241988902751439615834431462912145016945334655007095480679754515955833611212596139743852838675449234200240576861108269290511795404119367129859238378632437552584048816977179085060922059637856838675763671483257755553415713560628597952787868317715177713238483460933469679821980384270518283294639961209727043937263870363080846798267888554569754070937929136545412132173635051017278842412204166089207603329687569607271778901505943524025500071825945598331672799984697128924041588831185213453023234822169190345173040916347986717145263973209674926766749071340022613599790194481239816877194209500439102880987823719486482668263837538481318203271111871538446768972)
-arctan(2/31123483102105175097733896718840842015356584028314501085901539774694002285046156080645958497543118907840789854296003303540556147435733768645771070643209672818878478375086986544530113327681205796663255139883716593534670760641941153756726951170791217302828266428268891497580887425709445744457276932443765870800427715598970151526201517345902768360854655147763397384427969118978131529632051233369745182229522983237607256846202913068977197628167150594286284402435223200875868731105429085779529360106648610412463679927152106725994973561586881975300184686262739026521775048274948568443732857795315726853611817479644794483100387298097158945672868721841203630420947367603227812894546011454846386330880022918973903154502758165384891170658515542353738297425590565411034628846261126469620684873691148691189906571718361130850202869819693887644677863588417091413403200611330657948831795282818055645648945342013474452026721484671957464143334830677247165627083616329223514800944053001167040758429824149636639141743512161683905494717125962822035831791298587501325353642926112406692933357294862371203351304605825823955662129060289864033079325477277515667886276588329326041058196039835664437957897391118485194765832495229204080090120227993308176360903692417648059154717923332711169760253437241157943668617479456918696440059805303104653469017689653011903527895679195605388127584399500356694655912645936229516870144668114135662643413568674769338023545394851327782931692944146585137940899480411137374779056500065458880014534698351297309332445730553896364247588537178836496021113492894470208741086844481907538897493683346387526863771857936915296004391681026449361899463905736903763137605551670507295721410475438799225928153181449936732918202341278333485273193460714043993406836892268249527480692176958625931524103633228830966122356783579355280496461689098856355790803823884724953259512069051563988588562007040907655345362137912631241251017573578580727067279184158913278048921899626728161284225694465814449078620001554726548901286128555938466771851036974667814088277422676696337876603241341835397222736949286210235570720696183628368742317735071801356092851942596366452408756247031055176353737074194189299046193803463313814567840774037189030019653364153649285623982436628866648504678614372731638419244426024971443212231361522863774272033399573823204614117116713039917948672338474707002992912610315043650876927652820543202889951635792450452496768007249885432782431000157038877111158144257822859532138580079985327487056254249511343515745435815927838434973837157188135615254445734938479734776918755347512781336214538872607560472145166258713503362612850476265696152514717791414458667552569171373785390844346994712425861517823753681917038779500126305616569453698110569446587354912269492518615461096896922164229844589250367021082922926376073229592895161306070313297319879222957507053715021605101177184837272159990191671818384577778793486675094403259746034217422830986787410104572400139980297488223914860808651432626827238678961476147124016381452009270628504938905394836404375023315818637443655137651263850818709207543822709313936473415422770468056945647681790102493573464251516048911116901768598561238738989630261936662053185970972148408154466615294018997424376510599653795300402654687652095497452397524940482940048351268758599398495893861992886136413265104244451703955832780473171141356908285274186294126889358997720223646942549600487578926336601943672071195340953803705019297844824600254138685661693644593968866087010147023323729781197650516813647290669859119271387492744041462795779562035909412049022242062720966113942754759623020381404805184939584226122001314402372113078694495371995965323389693371011052954696030664532902597843227750853418810444151319468834097591814111793316731184761071155573649031)

例3
  E.B.Escottの公式を次のように変形します。
π/4=22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1393)-10arctan(1/11018)
      =22arctan(1/28)+2(arctan(1/443)-2arctan(1/1393)-arctan(1/(1393*2))-5arctan(1/11018))+arctan(1/10812186007)
      =22arctan(1/28)+2arctan(1826361351951187/206551028046998804159)+arctan(1/10812186007)
分子が1でない項を分解することにより,次のような8項公式が得られ「項数」は6047です。(2016年12月 25日)
π/4=22arctan(1/28)+arctan(1/10812186007)
+2(arctan(1/113091)
-arctan(1/3895518568)
+arctan(1/629300100535257682)
+arctan(1/3908794630494399376312997032077)
+arctan(1/2826309607900568565641613414850546664107508798258619099)
-arctan(1/9355551928344973308672677302161189493689419576030500548470229574122617811231223535344986234612178957369478))

また,次のような9項公式が得られ「項数」は5927です。(2016年10月9日)
π/4=22arctan(1/28)+arctan(1/10812186007)
+2(arctan(1/113092)
-arctan(1/5601699965)
+arctan(1/1083674151782230257959)
+arctan(1/83353394080057690599638925946766008813507)
+arctan(1/44159448209580290514941494896167025656277139243341445194174000052430677850316307)
+arctan(1/117613589295847139673856801303891702263375697588071131406073283560440761605562833357261461386606135153923938744384133754651080417916978130580171920423955569)
+arctan(1/145246042064048193159976410900248855439091624279477601836073438854546763368373864743937849345536534875364451213492682521386407657462519150435335876865553621749344336784286405591331625883502540222627065488068610945581020772909913527423590345142964502963228430325050989960500442663270898350263886996952566680238932))

また,E.B.Escottの公式を次のように変形しても9項公式が得られ,「項数」は5839です。(2016年 10月16日)
π/4=22arctan(1/28)+2(arctan(1/443)-3arctan(1/1393)+arctan(1/(1393*2))-5arctan(1/11018))-arctan(1/10812186007)
=22arctan(1/28)+2arctan(6457230025522026/730268162965427523107)-arctan(1/10812186007)
=22arctan(1/28)-arctan(1/10812186007)
+2(arctan(1/113093)
-arctan(1/127512137874)
+arctan(1/39607459902580216106307)
-arctan(1/7061522233235689255725231071663715115695328)
+arctan(1/10486631320854991392232831568340090082541694282525351757667059391809990997765309021)
+arctan(1/82196950554656533128604331781786647724535745427534755760994665875961196200941351390954750726224418488112109444583799954171398373336018851114123630259983350135006)
-arctan(1/1044329610045537687475273636184832970888152768287756220414845677774687731484005759572818119800312941679867142823730101516247129424982871583369968696900268745881658491626530063322540026176621137187443783573859683152055203326676189543778576923410372296918643698117712725294398219743005667378690081906177663821783157922943))

また,次の様な「項数」が7140の8項公式と,「項数」が6827,6846の9項公式も得られます。
π/4=22arctan(1/28)-5arctan(1/1082543)-5arctan(1/133759658193)+arctan(1/5515002927)+2(arctan(1/89673)-arctan(1/10264952556)-arctan(1/78325993428040874667)-arctan(1/33337277597253974055981237698374532581))
π/4=22arctan(1/28)-5arctan(1/8637069)+5arctan(1/133280317780182)+arctan(1/5500151048)+2(arctan(1/109510)-arctan(1/1139779431228)+arctan(1/58554835530668445191860)-arctan(1/370677189710554857716656518367655029768509924279)+arctan(1/618307105372716042370343696574764066759530696910723453651067622338180494852353363567682921438568))
π/4=22arctan(1/28)-5arctan(1/1082543)-5arctan(1/133759658193)+arctan(1/44837)+arctan(1/4251637668)+arctan(1/1010284816200424588)-arctan(1/15000245024549485022909289057369489919)-arctan(1/83418285192108858342089096119709721814957020923245960073380868251308387)+arctan(1/443584503530631183632190875014588825306130640926675628762566460322190308633422471668323979102846589604122035378762678029077779935617416656)

例4   John Machinの公式π/4=4arctan(1/5)-arctan(1/239)において,arctan(1/5)は次のように12項に分解できます。 これを用いた13項公式の「項数」は6941です。
    arctan(1/5)=15arctan (1/76)+arctan(1/25955)-arctan (1/2158154547)-arctan (1/43189998247414377443)+……     Machin.txt
 また,
    π/4=4arctan(1/5)-arctan(1/239)=4(arctan(1/5)-8arctan(1/239))+31arctan (1/239)
    =4(10arctan(1/61)+arctan(18694125035232128866753631935/5825977784334188992070488484638357))+31arctan(1/239)
    =40arctan(1/61)+31arctan(1/239)+4arctan(18694125035232128866753631935/5825977784334188992070488484638357)
と変形し,
    arctan(18694125035232128866753631935/5825977784334188992070488484638357) =arctan(1/311647)-arctan(1/185280101237)+……    Machin2.txt
と分解すると,「項数」6697の14項公式が得られます。(2016年11月24日)

例5
   例2以上に「項数」を小さくしようとすると、完全に分解することができません。分子の桁数が分母の桁数の1割以下になったところで分解を止めると,次のよ うになります。
「項数」を4000未満にするには,arctan(1)-183arctan (1/233)=-arctan(1/210989)-arctan(1/142403798304)+… と分解すればよく,「項数」は概算で3936です。data233.txt
「項数」を3000未満にするには,arctan(1)-1420arctan (1/1808)=arctan(1/74639440)+arctan (1/16608949685609163)+…… と分解すればよく, 「項数」は概算で2771です。data1808.txt
「項数」を2000未満にするには,arctan(1)-52174arctan(1/66430)=-arctan(1/42405894790)- arctan(1/4208737561796997835755)+…… と分解すればよく, 「項数」は概算で1965です。data66430.txt
また,pi/4-5419351arctan(1/6900132)≒-3.75733E-17となり,arctan(1)-5419351arctan (1/6900132)を分解すれば,理論上は「項数」が1340程度に成りそうです。

最も効率が良いように,分解を途中で止めて項の数を制限して使用するのが良いと思われます。

正計算と検証計算のペア公 式
幾つかの正計算と検証計算のペア公式を見つけましたが,ほとんどがM.R.Wetherfieldのウェブページに既にありまし た。

2002年に金田康正氏と後保範氏などの方々が円周率の世界記録を達 成するのに用いた,次の高野喜久雄氏とF.C.M.Størmerの公式のペアは有名です。
    π/4=12arctan(1/49)+32arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/110443)
    π/4=44arctan(1/57)+7arctan(1/239)-12arctan(1/682)+24arctan(1/12943)
これらの公式を用いた理由は,分母が同じ項が2つあるため,正計算と検証計算に用いると,正計算の結果が検証計算に使えて効率的であるからと思われます。
これら2公式では, 正計算と検証計算における「項数」の和は,計6項で11880です。

また,Karl Friedrich Gauss(ガウス)の公式とF.C.M.Størmerの公式
    π/4=12arctan(1/18)+8arctan(1/57)-5arctan(1/239)
    π/4=44arctan(1/57)+7arctan(1/239)-12arctan(1/682)+24arctan(1/12943)
では, 正計算と検証計算における「項数」の和は,計5項で11913です。

Jörg Arndtが1993年に発見した「項数」8741の公式と松元隆二氏のウェブページにある公式
    π/4=88arctan(1/192)+39arctan(1/239)+100arctan(1/515)-32arctan(1/1068)-56arctan(1/173932)
    π/4=44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/515)+12arctan(1/1068)-12arctan(1/173932)
では,正計算と検証計算における「項数」の和は,計6項で11589で す。

F.C.M.Størmerの公式
    π/4=88arctan(1/172)+51arctan(1/239)+32arctan(1/682)+44arctan(1/5357)+68arctan(1/12943)
    π/4=44arctan(1/57)+7arctan(1/239)-12arctan(1/682)+24arctan(1/12943)
では,正計算と検証計算における「項数」の和は,計6項で11508で す。

次の6項公式と5項公式
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/42483057)+34arctan(1/7939642926390344818)
    π/4=11arctan(1/15)+6arctan(1/107)-5arctan(1/1710)-2arctan(1/2513489)+arctan(1/7939642926390344818)
では,正計算と検証計算における「項数」の和は,計7項で10897で す。また,
    π/4=72arctan(1/107)+11arctan(1/239)+44arctan(1/580)-16arctan(1/1710)-24arctan(1/2513489)+12arctan(1/7939642926390344818)
を用いると,正計算と検証計算における「項数」の和は,計8項で10557と成ります。さらに,arctan(1/107)=2arctan (1/122)-arctan(1/239)-2arctan(1/580)+arctan(1/1710)を用いて変形し整理した式
    π/4=132arctan(1/122)-49arctan(1/239)-64arctan(1/580)+32arctan(1/1710)+24arctan(1/225443)-12arctan(1/42483057)
    π/4=144arctan(1/122)-61arctan(1/239)-100arctan(1/580)+56arctan(1/1710)-24arctan(1/2513489)+12arctan(1/7939642926390344818)
を用いると,正計算と検証計算における「項数」の和は,計8項で10490で す。さらに,2arctan(1/239)-arctan(1/122)=arctan(1/5827)-arctan(1/1561886607)を用 いて変形し整理した式
    π/4=215arctan(1/239)-64arctan(1/580)+32arctan(1/1710)-132arctan(1/5827)+24arctan(1/225443)-12arctan(1/42483057)+132arctan(1/1561886607)
    π/4=227arctan(1/239)-100arctan(1/580)+56arctan(1/1710)-144arctan(1/5827)-24arctan(1/2513489)+144arctan(1/1561886607)+12arctan(1/7939642926390344818)
を用いると,正計算と検証計算における「項数」の和は,計9項で9965で す。なお,この2公式は,分子が1でなくても良いならば,次のように変形することもできます。
    π/4=183arctan(1/239)+64arctan(1/1710)-100arctan(46/268043)-32arctan(3/145589)+12arctan(303/34245479)
    π/4=177arctan(1/239)+106arctan(1/1710)-94arctan(46/268043)-50arctan(3/145589)-12arctan(2/2513489)
分子が1となるように分解すると
    π/4=183arctan(1/239)+64arctan(1/1710)-100{arctan(1/5827)-arctan(1/1561886607)}-32{arctan(1/48530)+arctan(1/7065434173)}+12{2arctan(1/225443)-arctan(1/42483057)}
    π/4=177arctan(1/239)+106arctan(1/1710)-94{arctan(1/5827)-arctan(1/1561886607)}-50{arctan(1/48530)+arctan(1/7065434173)}-12{2arctan(1/2513489)-arctan(1/7939642926390344818)}
となり,正計算と検証計算における「項数」の和は,計10項で9730です。

松元隆二氏の6項公式
    π/4=127arctan(1/239)+188arctan(1/515)-120arctan(1/1068)+88arctan(1/41218)-144arctan(1/173932)+88arctan(1/3539232)
    π/4=127arctan(1/192)+61arctan(1/515)+7arctan(1/1068)-39arctan(1/41218)-17arctan(1/173932)-39arctan(1/3539232)
のペアに④を用いて
    arctan(1/41218)+arctan(1/3539232)=arctan(2/81487)=2arctan(1/81487)-arctan(1/270542184406382)
と変形すると,それぞれ6項公式
    π/4=127arctan(1/239)+188arctan(1/515)-120arctan(1/1068)+176arctan(1/81487)-144arctan(1/173932)-88arctan(1/270542184406382)
    π/4=127arctan(1/192)+61arctan(1/515)+7arctan(1/1068)-78arctan(1/81487)-17arctan(1/173932)+39arctan(1/270542184406382)
が得られ,計7項で10105です。この2公式の一方は,次の Jörg Arndtの5項公式に換えることができます。
    π/4=88arctan(1/192)+39arctan(1/239)+100arctan(1/515)-32arctan(1/1068)-56arctan(1/173932)

松元隆二氏の6項公式集を検索して,次の3つの公式を見つけました。
    π/4=133arctan(1/239)+182arctan(1/1252)+232arctan(1/2855)+100arctan(1/58898)+62arctan(1/110443)+138arctan(1/4841182)
及び
    3π/4=266arctan(1/117)+147arctan(1/1252)-102arctan(1/2855)+34arctan(1/58898)+53arctan(1/110443)+15arctan(1/4841182)
    3π/4=266arctan(1/122)+147arctan(1/1252)+164arctan(1/2855)+34arctan(1/58898)+53arctan(1/110443)+15arctan(1/4841182)
正計算と検証計算における「項数」の和は,計7項で10368です。
また,2arctan(1/239)-arctan(1/122)=arctan(1/5827)-arctan(1/1561886607)を用いて変 形すると,次の7項公式が得られます。ただし,その公式はH.Chien-lihにより既に発見されていました。
    π/4=266arctan(1/5827)-266arctan(1/1561886607)+581arctan(1/1252)+764arctan(1/2855)+366arctan(1/58898)+195arctan(1/110443)+537arctan(1/4841182)
正計算と検証計算における「項数」の和は,計8項で9823です。
また,117+122=239であることに着目し,
    π/4=-133{arctan(1/117)+arctan(1/122)-4arctan(1/239)}+581arctan(1/1252)+897arctan(1/2855)+366arctan(1/58898)+195arctan(1/110443)+537arctan(1/4841182)
において    arctan(1/117)+arctan(1/122)-4arctan(1/239)=arctan(6300757/895735135099)  を分解すると,次の9項公式が得られます。
   π/4=133(-arctan(1/142163)+arctan(1/206149821627)+arctan(1/137425006086182550104062)-arctan(1/193395200676616680106993967876979706237964557))+581arctan(1/1252)+897arctan(1/2855)+366arctan(1/58898)+195arctan(1/110443)+537arctan(1/4841182)
正計算と検証計算における「項数」の和は,計10項で9692です。

なお,https://en.wikipedia.org/wiki/Machin-like_formulaによると,現在知られている最も効率的なペ アは,黃見利が発見した次のもので,「項数」の和は,計12項で9214で す。
    π/4=36462arctan(1/390112)+135908arctan(1/485298)+274509arctan(1/683982)-39581arctan(1/1984933)+178477arctan(1/2478328)-114569arctan(1/3449051)-146571arctan(1/18975991)+61914arctan(1/22709274)-69044arctan(1/24208144)-89431arctan(1/201229582)-43938arctan(1/2189376182)
    π/4=36462arctan(1/51387)+26522arctan(1/485298)+19275arctan(1/683982)-3119arctan(1/1984933)-3833arctan(1/2478328)-5183arctan(1/3449051)-37185arctan(1/18975991)-11010arctan(1/22709274)+3880arctan(1/24208144)-16507arctan(1/201229582)-7476arctan(1/2189376182)

「項数」がxである1つのarctanの項の計算時間をyとするとき, y=a(x+k) (a,kを正の定数)と1次近似できると仮定します。
このとき,n個の項を計算するときの計算時間yは,Sをn個の項の「項数」の合計とすると  y=a(S+nk) となります。
したがって,例えば,「項数」の和が計6項で11508のときと,「項数」の和が計7項で10105のときの計算時間の差は
    a(11508+7k)-a(10105+6k)=a(1403-k)
よって,
    k<1403ならば,計6項の公式よりも計7項の公式の方が高速と成ります。
同様にして,
    k<152ならば,計12項の公式のペアが最速と成ります。
    152<k<282ならば,計8項の公式のペアが最速と成ります。
    282<k<904 ならば,計7項の公式のペアが最速と成ります。
    k>904ならば,計5項の公式のペアが最速と成ります。

その他の公式

分子が1でないものも許せば

                                                       π/4の式 項数
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(369/128467) 6917
17arctan(1/23)+8arctan(1/182)+5arctan(127/228636) 7420
16arctan(1/21)+7arctan(1/239)-4arctan(25/19157) 7617
16arctan(1/21)+3arctan(1/239)+4arctan(3/1042)
7852
17arctan(1/23)+3arctan(1/182)+5arctan(38/6281)
8138
12arctan(1/15)-arctan(1/239)-4arctan(10/4331)
8250
19arctan(1/24)-4arctan(1/882)-9arctan(1/6948)+arctan(11/560003)
7684
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(11/8941377) 7763
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(4/1397)+12arctan(1/110443) 7907 
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+24arctan(2/1511)+12arctan(1/4443)
8058
44arctan(1/57)-17arctan(1/239)+24arctan(4/1147)+12arctan(1/12238)
8208
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+24arctan(1/1068)+12arctan(3/3001) 8267
127arctan(1/239)+188arctan(1/515)-120arctan(1/1068)+88arctan(2/81487)-144arctan(1/173932) 7636
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(17/1762829)-12arctan(2/2513489)
5827
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(303/34245479)-34arctan(2/2513489)
5820
1345arctan(1/1710)+83arctan(46/268043)-581arctan(3/145589)-354arctan(17/1762829)-12arctan(2/2513489)
5758
1345arctan(1/1710)+83arctan(46/268043)-581arctan(3/145589)-354arctan(303/34245479)-366arctan(2/2513489)
5751

などがあります。


公式の確認
公式は,次の十進BASICのプログラムにより確認できます。

OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH
DECLARE EXTERNAL FUNCTION arctan
LET pai=83*arctan(1/107)+17*arctan(1/1710)-44*arctan(1/225443)-68*arctan(1/2513489)+22*arctan(1/42483057)+34*arctan(1/7939642926390344818)
PRINT pai*4-pi
END

EXTERNAL FUNCTION arctan(x)
OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH
LET xx=-x*x
LET kou=x*xx
LET s=x
LET k=1
DO
   LET s=s+kou/(2*k+1)
   LET kou=kou*xx
   LET k=k+1
LOOP WHILE ABS(kou)>EPS(0)
LET arctan=s
END FUNCTION


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