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四次元の体

「体」は「たい」と読む. これは deutsche Sprache での Körper の日本語訳と考えられる.

四次元の体という題だが, Q を有理数体として, 線形空間として Q 上四次元の体を作るのである. その例の一つとして, Q[x]/((x4+1)Q[x]) がある. この空間は, Q(√(-1)) と同型である体を部分体として含むが, 四元数体とは構造が異なる.

Rを実数体とする. R[x]/((x2+1)R[x]) では, (±x±1)/√(2)+R[x](複号任意) が -1 の四乗根となるが, Q[x]/((x2+1)Q[x]) には -1 の四乗根が無い. この例に限らず, R[x] は次数 3 以上のものは全て可約なので, R[x] の元 f(x) で R[x]/(f(x)R[x]) で R上三次元以上の体はできない. 積は非可換でも良いことにすれば, 四元数体などができる.


旧文書

四次元の体

「体」は「たい」と読む。念のため。

四次元の体というタイトルだが、Qを有理数体として、線形空間としてQ上四次元の体を作るのである。 その例の一つとして、Q[x]/((x4+1)Q[x])がある。 この空間は、Q(√(-1))と同型である体を部分体として含むが、四元数体とは構造が異なる。

Rを実数体とする。 R[x]/((x2+1)R[x])では、 (±x±1)/√(2)+R[x](複合任意)が-1の四乗根となるが、 Q[x]/((x2+1)Q[x])には-1の四乗根が無い。