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√(2)

直角をはさむ二辺の長さがともに 1 の直角三角形の, 直角の対辺の長さの二乗は三平方の定理により, 2 になる. これは, 正方形の対角線の長さの話でもある. 直角の対辺の長さを x とすると, x2=2 となり, 反復法を適用するよう変形すると, (x+1)2=2(x+1)+1 から x=1+1/(x+1) となる.

a(0)=1, 0以上の整数 n に対して a(n+1)=1+1/(a(n)+1) として数列 a(n) を定める. 1,3/2,7/5,17/12,41/29,99/70,…という数列になる.

a(n) の一般項を求めてみよう. x/y という分数を 1+1/(x/y+1) に変換するということを考えてみよう. これは x/y を (x+2y)/(x+y) に変換する対応と言い換えられる. これでよく知っている線形代数の問題に変わる。 a(n) の一般項は, √(2)((1+√(2))n+1+(1-√(2))n+1)/((1+√(2))n+1-(1-√(2))n+1) となる. |1-√(2)|<1 なので, a(n) は n→∞ で √(2) に収束する.

もう一つ注意するべきことがある. それは a(n) の各項が有理数であることだ. 要するに, √(2) に収束する有理数列の作り方を簡単に説明できるということである. (よく知られているように, 任意の実数に対して有理数列で近似数列を作ることができるが, 数列の生成法は大体の場合は単純なものではないだろう.)


旧文書 2005/05/04

√(2)

a(0)=1,0以上の整数nに対してa(n+1)=1+1/(a(n)+1)として数列a(n)を定める。1,3/2,7/5,17/12,41/29,99/70,…という数列になる。この数列の極限は√(2)である。

a(n)の一般項を求めてみよう。 x/yという分数を 1+1/(x/y+1)に変換するということを考えてみよう。 これはx/yを(x+2y)/(x+y)に変換する対応と言い換えられる。 これでよく知っている線形代数の問題に変わる。 a(n)の一般項は、√(2)((1+√(2))n+1+(1-√(2))n+1)/((1+√(2))n+1+(1-√(2))n+1))となる。 |1-√(2)|<1なので、a(n)はn→∞で√(2)に収束する。

もう一つ注意するべきことがある。それはa(n)の各項が有理数であることだ。要するに、√(2)に収束する有理数列の作り方を簡単に説明できるということである。(よく知られているように、任意の実数に対して有理数列で近似数列を作ることができるが、数列の生成法は大体の場合は単純なものではないだろう。)