正弦波をつくる

LTspice の使用例としてご覧になって頂ければと思います。

English Version

方形波のスペクトル

方形波(50%デューティ)には偶数次のスペクトルは含まれないので、一番基本波に近接した第2高調波成分が発生しないというメリットはありますが、次の第3高調波をはじめ基本波に対して 1/n (n:高調波の次数) のレベルの奇数次のスペクトルを伴います。

画像<sqr_trn.png>
画像<sqr_fft.png>

この方形波に LPFを通してみます。下は LTspiceの E:Voltage dependent voltage source を使った Sallen-key(VCVS)型の 2/4/6次の Butterworth LPFの回路図です。

画像<vcvs_lpf_sch.png>

フィルタ定数は偶数次の Butterworth多項式
H(s)=\frac{\frac{1}{C_{1}s}\times\frac{1}{C_{2}s}}{(R_{1}+R_{2}+\frac{1}{C_{2}s})\frac{1}{C_{1}s}+R_{1}R_{2}}=\frac{1}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}s^{2}+(R_{1}+R_{2})C_{2}s+1}
アクティブ・フィルタ/VCVSフィルタとMFBフィルタのVCVS(Sallen-Key)フィルタで求めた式

ZA=R1, ZB=R2, ZC=1/C1s, ZD=1/C2s を代入して得られる Sallen-Key LPFの伝達関数
H(s)=\frac{\frac{1}{C_{1}s}\times\frac{1}{C_{2}s}}{(R_{1}+R_{2}+\frac{1}{C_{2}s})\frac{1}{C_{1}s}+R_{1}R_{2}}=\frac{1}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}s^{2}+(R_{1}+R_{2})C_{2}s+1}
から求められます。(C,Rの番号は回路図一番上の2次LPFと同じです。)

下図は上回路図の 2/4/6次 Butterworth LPF の周波数特性です。回路図の V1の設定は PULSE(0 3.3 100u 10n 10n 500u 1m 12) を消し AC 1 にします。また Simulation Command は .tran 11m を無効にして .ac dec 32 100 100k とします。

画像<sqr2sin_vcvs_frqchr.png>

次は 2/4/6次 Butterworth LPF の transient シミュレーション結果です。 回路図の V1 の設定は PULSE(0 3.3 100u 10n 10n 500u 1m 12) です。 Simulation Command は .tran 11m ですが (.ac dec 32 100 100k は無効にします) 、表示は波形が観易いように 4msec 迄にしています。

画像<sqr2sin_vcvs_tran.png>

次は LTspiceの FFTです。 1msec〜11msecのデータに Blackman窓を掛けています。

画像<sqr2sin_vcvs_fft.png>
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第3高調波の相殺を考える

1/6周期位相がずれた 2波の方形波を考えます。下図はLTspiceによるシミュレーションのための回路図です。

画像<kill3rdhd_sch.png>

下図の緑の方形波が上回路図の信号源 V1の出力、青の方形波が V2の出力で、赤は抵抗 R1,R2により V1,V2を合成した波形です。

画像<kill3rdhd_trn.png>

上の赤の波形を FFTした結果が下図です。第3高調波の他 3の倍数の 9,15,21の高調波も相殺されています。

画像<kill3rdhd_fft.png>

方形波を生成する際により高い周波数のクロックを分周して所望の周波数の方形波を生成することになるかと思いますが、元のクロックが生成する方形波の周波数の 3の倍数でない場合 1/6周期の遅延はつくり出せません。
そこで 2波がだめなら 3波ではという訳で、次に位相が 1/8周期づつずれた 3波の方形波の加算を考えてみます。

\alpha\cos(\omega t-\phi)+\beta\cos\omega t+\alpha\cos(\omega t+\phi)
=2\alpha\cos\omega t\cos\phi+\beta\cos\omega t
=(2\alpha\cos\phi+\beta)\cos\omega t

第3高調波を相殺するため
\phi=3\times\frac{2\pi}{8}=\frac{3\pi}{4}
2\alpha\cos\phi+\beta=0
として
\frac{\beta}{\alpha}=-2\cos\frac{3\pi}{4}=-2\times(-\frac{1}{\sqrt{2}})=\sqrt{2}(\doteqdot\frac{51}{36}=1.41666\cdots)

E-24系列で √2 に一番近い比率となる36kΩと51kΩの組み合わせでミキシングしてみます。

画像<kill35hd_sch.png>

下図の黄緑色の方形波が上回路図の信号源 V1の出力、青の方形波が V2の出力、赤の方形波が V3の出力で、青緑色は抵抗 R1,R2,R3により V1,V2,V3を合成した波形です。

画像<kill35hd_trn.png>

下図は上図の青緑色の抵抗による合成波形のFFTの結果です。これから第3高調波だけでなく
\cos\frac{n\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt{2}}
が成り立つ n (=3,5,11,13,19,21) の第5,11,13,19,21高調波なども相殺されていることが分かります。

画像<kill35hd_fft.png>

下図は LTspiceによるシミュレーション用回路図です。まず D-flipflop(A1,A2,A3)で 2→4→8とクロックを分周します。次に分周前のクロックによるシフトレジスタで位相が 1/8周期づつずれた 3波の方形波を生成しますが、LTspiceの D-flipflopでは遅延が無いせいかシフトレジスタがうまく動作しないので、Inverter(A10)でつくった逆相クロックで中間に D-flipflopを 2個(A7,A8)追加し 3段のシフトレジスタを機能させています。

画像<sqr2sin35sch.png>

E1,E2は E:Voltage dependent voltage source の反転アンプとしての使用例です。ゲインこそ 120dB(=1e6=1,000,000倍)と有限値ですが、理想 OPアンプのあと2つの条件、入力インピーダンス無限大と出力インピーダンス0は満たしています。

下図は上回路図で LTspiceによってトランジェント解析した結果です。緑色の I(R1)+I(R2)+I(R3)はR1,R2,R3に流れる電流を合成した波形です。青の波形 V(n018)は Voltage dependent voltage source:E1による反転1次 LPF出力ですが、位相を他の波形と合わせるための反転表示しています。赤の波形 V(n017)は E2による反転2次LPF出力です

画像<sqr2sin35tran.png>

下図は上の青と赤の E1,E2出力に Blackman窓を掛けて FFTした結果です。

画像<sqr2sin35fft.png>
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更なる高調波のキャンセル

調子に乗って、第7,9高調波の相殺も試みます。方形波は 16倍の周波数の信号から 2分周 4回で生成し、それを 7段のシフトレジスタに通します。

\phi=7\times\frac{2\pi}{16}=\frac{7\pi}{8}
\frac{\alpha}{\beta}=-2\cos\frac{7\pi}{8}=1.8478
R_{1}=\frac{1}{\frac{2}{51k\Omega}+\frac{1}{36k\Omega}}=14.927k\Omega

3組の R1のネットワークに直列に R22個と R31個をつなぎ、第3〜13までの奇数次の高調波を一挙に相殺します。

\frac{\alpha}{\beta}=\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}+R_{3}}
R_{3}=\frac{R_{1}+R_{2}}{\frac{\beta}{\alpha}}-R_{1}

E-24系列で誤差が小さくなる組み合わせを探ると

R_{2}=33k\Omega
R_{3}=\frac{(14.927k\Omega+33k\Omega)}{1.8478}-14.927k\Omega=11.010k\Omega

下図はLTspiceによるシミュレーションのための回路図です。

画像<sqr2sin3-13_sch.png>

下図の緑の階段状の波形は R10,R11,R12の抵抗に流れる電流の和(符号は負ですが)です。 青の波形は理想 OPアンプ(ゲインは120dB)の Voltage dependent voltage source E1の出力、赤の波形は E2の出力です。

画像<sqr2sin3-13_tran.png>

上の青の波形と赤の波形を FFTした結果が下図です。

画像<sqr2sin3-13_fft.png>

もともと抵抗の精度に依存する方式ですから、実際ここまでの性能は望めません。残念ながら正に机上の空論です。PCM ADC/DACの方式が ΔΣ一色になっていることがそれを物語ります。

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